Matrizen mit linearen Abbildungen


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Hallo

Hier meine Aufgabe:

Bei a und b bin ich mir ziemlich sicher, dass es korrekt sein sollte (nachprüfen wäre super).

Aber bei der c bin ich mir bei meinem Endresultat nicht sicher. Ich habe durch die Spur der Matrix nur Einträge für a, c und d aber das b fehlt mir und das geht ja dann nicht so ganz auf mit der Matrixmultiplikation beim Endresultat.

 

Besten Dank :-)

Grüße Wizz

 

gefragt vor 6 Monate, 1 Woche
w
wizzlah,
Student, Punkte: 196
 
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1 Antwort
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Hallo,

vergiss nicht das in der Aufgabenstellung steht, dass du auch zeigen sollst das lineare Abbildungen vorliegen. Also musst du für jede Abbildung noch zeigen das 

\( L(\lambda \cdot  x) = \lambda \cdot L(x) \\ L(x+y) = L(x) + L(y) \)

gilt. 

Die Darstellungsmatrizen von a) und b) sind richtig. 

Die Basis von \( Mat_{2\times 2 } \) ist

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Um die Darstellungsmatrix zu finden müssen wir nun die Bildvektoren der Basiselemente als Spaltenvektoren unserer Darstellungsmatrix auffassen. 
Es kommt also eine \( 1\times 4 \)-Matrix dabei heraus. 

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14448
 

Hallo


erstmal wieder vielen Dank für deine Hilfe.


Wie kann ich genau diese Darstellungsmatrix aufschreiebn? Ich blicke da leider nicht so ganz durch, wiel ja hier 2x2 matrizen die basis bilden. 


 


Grüße


Wizz

  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

und bei dem Beweis der Additivität und Homogenität:


Ist dieser Ansatz für den Beweis korrekt? Also ich habe versucht mit deinen Tipps und mit Wikipedia ein wenig weiterzukommen. Aber ich bin mir jetzt nicht sicher wie ich das in Verbindung bringen kann mit der Definition vom L.


1,x,x^2... x^4 bilden ja die Basis von L.



 


 


Wenn ich dies jetzt zeigen will für (in meinem Beispiel) für v und w, dann muss ich die entsprechend für x einsetzen oder ?


Sorry wenn es mir da nicht gerade so klar wird ich habe mit dem Thema gerade ein wenig Schwierigkeiten.


 

  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Erstmal zu dem Beweis, das eine lineare Abbildung vorliegt. 


Nehmen wir die a)


du setzt nun folgendes Polynom ein \( p(x)+ \lambda q(x) \)


\( \Rightarrow L(p+\lambda q)(x) = \int_0^x (1-t) \cdot (p(t) + \lambda q(t)) dt = \int_0^x (1-t) p(t) + (1-t) \lambda q(t) dt \)


Nun nutzen wir die Linearität des Integrals aus 


\( \Rightarrow \int_0^x (1-t)p(t) dt + \int_0^x (1-t) \lambda q(t) dt \)


Wir dürfen Konstanten vor das Integral ziehen


\( \Rightarrow \int_0^x (1-t) p(t) dt + \lambda \int_0^x (1-t)q(t) dt = L(p)(x) + \lambda L(q)(x) \)


Bekommst du die anderen so hin?


Ich sehe gerade doch noch einen Fehler in deiner a)


Du hast \( p(t) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \) gesetzt. Aber da muss natürlich ein \( t \) ansatt ein \( x \) als Variable hin. Sorry ist mir zuerst nicht aufgefallen.


Damit erhälst du ein anderes Integral. Rechne das noch einmal durch.


Nun zu der c)


Du setzt das erste Basiselement ein also


\( L \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = Spur\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) \)


Das Ergebnis das daraus kommt ist ein Skalar, nennen wir es mal \( s_1 \). Deine Abbildungsmatrix hat dann die Form


\( \begin{pmatrix} s_1 & s_2 & s_3 & s_4 \end{pmatrix} \)


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate

Vielen Dank für deine Antwort


Ich denke ich sollte es nun hinbekommen 


Grüße


Wizz

  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate
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