Taylorreihe und Restwert


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Hallo,

 

ich stehe kurz vor der Matheklausur im Maschinenbaustudium und bin mir sehr unsicher was die Lösung einer meiner Aufgaben angeht.

 

Gegeben sei f : R → R,  f(x) = e^sin(x); X0=Pi/2

Aufgabenstellung: a) Taylorpolynom 2. Grades bestimmen.

b)  Bestimmen Sie mit Hilfe von (a) eine Näherung fur  f(3Pi/8) und zeigen Sie: Der Fehler dabei beträgt höchstens

5e/6 * (Pi/8)³

 

Ich habe meinen Lösungsweg mal abfotografiert und hoffe, dass mir jemand helfen bzw. mein Lösung bestätigen kann (wobei ich stark vermute, dass diese falsch ist).

 

gefragt vor 5 Monate, 2 Wochen
s
simon1995,
Student, Punkte: 0
 
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1 Antwort
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Hallo,

du hast bei der a) einen Fehler beim zusammenfassen gemacht.

\( T_2(x) = e - \frac e 2 (x- \frac {\pi} 2)^2 = e( 1- \frac {(x- \frac {\pi} 2)^2} 2) \)

Ansonsten stimmt die a) aber.

Bei der b) musst du noch \( x = \frac {3\pi} 8 \) noch in die richtige Zusammenfassung einsetzen. 

Bei der Restgliedabschätzung warst du etwas zu voreilig 

\( R_{n}(x) = \frac {f^{n+1}(\xi)} {(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} \) mit \( \xi \in (min(x,x_0), max(x,x_0)) \).

Nun wollen wir den maximalen Fehler finden, also nehmen wir das \( \xi \) für das der Fehler maximal wird. 

Erstmal bestimmen wir 

\( f'''(\xi) = -e^{\sin(\xi)} \cos(\xi) (3\sin(\xi) - \cos^2(\xi) +1) \)

wir müssen nun herausfinden, für welches \( \xi \in (\frac{3\pi} 8, \frac{\pi} 2) \), der Fehler maximal wird.

Da \( f'''(\xi) \) bei \( \xi= \frac {\pi} 2 \) eine Nullstelle hat, nehmen wir \( \xi = \frac {3\pi} 8 \). Wir erhalten dann für \( f'''(\frac {3\pi} 8) = -3,49.. \)

Da es aber darum geht quasi den Abstand vom eigentlichen Funktionswert zu bestimmen, können wir den Betrag nehmen und erhalten so unseren Fehler von \( \vert R_3(\frac {3\pi} 8) \vert \leq \vert  \frac{-3,49} {3!} (\frac {3\pi} 8 - \frac {\pi} 2 )^3 \vert = \vert \frac {-3,49} 6 (-\frac {\pi} 8)^3 \vert \approx 0,035 \).

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
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Vielen dank für die Mühe und genaue Erklärung du hast mir enorm weiter geholfen!! :)

  -   simon1995, kommentiert vor 5 Monate, 2 Wochen

Das freut mich sehr zu hören :)


Wenn die Frage für dich geklärt ist, dann schließe sie doch bitte indem du einmal links auf das Häckchen klickst.


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate, 2 Wochen
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