Schnittpunkte/Schnittwinkel bestimmen.


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Wie kann ich die Schnittpunkte und Schnittwinkel von \( x^6 =2^x \) bestimmen?

 

gefragt vor 7 Monate, 1 Woche
f
fabie,
Student, Punkte: 0
 
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2 Antworten
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Hallo,

eigentlich eine untypische Klausuraufgabe (Schule), da man hier algebraisch schnell an seine Grenzen stößt.

Daher würde ich zu einem numerischen Verfahren (z.B. Newton) raten.

Man erhält \(x_1\approx 1.1409,\, x_2\approx -0.90113,\, x_3\approx 29.2105\)

Nun benötigt man für beide Funktionen jeweils die Steigung in diesen Punkten. \(\rightarrow\) Jeweiligen x-Wert in die 1. Ableitung einsetzen.

Machen wir das für \(x_1\) erhalten wir: \(\dfrac{\textrm{d}(x^6)}{\textrm{d}x}\bigg|_{x=x_1} =11.599,\; \dfrac{\textrm{d}(2^x)}{\textrm{d}x} \bigg|_{x=x_1} =1.529\)

Für den Schnittwinkel erhalten wir folglich:  \(\varphi=|\arctan(11.599)-\arctan(1.529)|\approx 28.26° \)

geantwortet vor 7 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 

Oh, du warst schneller, ich habe noch getippt, ich lass meins trotzdem mal stehen, vielleicht helfen zwei analoge aber anders formulierte Erklärungen ja doppelt :)


Fröhlichen pi-day dir!

  -   jojoliese, kommentiert vor 7 Monate, 1 Woche

Schaden tun mehr Lösungen sicherlich nicht.

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 7 Monate, 1 Woche
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Also ich gehe Mal davon aus, dass du die zwei Funktionen

\( g:  y=x^{6}, h:  y=2^x \)

meinst, da wir ja zwei Graphen brauchen, damit sie sich schneiden können.

Für die Berechnung des Schnittpunktes musst du die jeweils rechten Terme der Gleichungen gleichsetzen (was du im Grunde schon getan hast).

Dann hast du eine Gleichung mit einer Unbekannten und kannst die x-Koordinate deines Schnittpunktes einfach ausrechnen. Wenn du diese dann in eine der Funktionsgleichungen einsetzt erhälst du die zugehörige y-Koordinate. 

(Tipp: als Test ob du alles richtig gerechnet hast setze doch nochmal x in die andere Gleichung ein, es müsste das gleiche y rauskommen)

In deinem Fall berechnen wir also:

\( x^{6} = 2^{x} \)

Ich gehe Mal davon aus, dass du einen Taschenrechner benutzen darfst, weil die Werte gar nicht Mal so leicht zu berechnen sind. 

Achtung: du erhälst mehrere Lösungen.

Sehr sinnvoll wäre es an dieser Stelle dir vorher die Graphen der beiden Funktionen kurz mit einigen Werten zu skizzieren (bzw. sie dir von deinem Rechner zeichnen zu lassen, wenn dieser grafikfähig ist).

 

Um die Schnittwinkel zu berechnen musst du die beiden Funktionen ableiten um die Anstiege von Beiden in deinem Schnittpunkt zu ermitteln.

Dazu ist hilfreich zu wissen: der Tangens eines Winkels im Koordinatensystem mit der x-Achse ist der Anstieg in einem Punkt der dann sozusagen zu deiner Hypotenuse gehört, also der Anstieg deiner Funktion im Schnittpunkt. (Am Besten du überlegst dir das Mal in einer Skizze mit Anstiegsdreieck)

\( tan \alpha = f'(x), \alpha \) ist der Anstiegswinkel im Punkt x. 

Vielleicht kannst du dir die Ableitung von deinem Rechner berechnen lassen, wenn nicht:

\( g'(x)=6x^{5}, h'(x)=2^{x}\cdot ln(2) \)

Dort setzt du jetzt also jeweils die oben berechnete x-Koordinate eines Schnittpunktes ein. 

Du erhälst den Anstieg in diesem Punkt. Davon der \(arc tan \) ist der Winkel, den deine Funktion an dieser Stelle mit der x-Achse hat.

Die Differenz der beiden Winkel ist der Winkel zwischen deinen Graphen.

Falls du etwas anderes meintest (deine Frage war ja doch sehr knapp) lass es mich bitte wissen :)

 

Fröhlichen pi-day noch!

geantwortet vor 7 Monate, 1 Woche
jojoliese,
Student, Punkte: 817
 
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