Neigungswinkel der Tangente


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Ermittle die Steigung der Funktion f an der Stelle p und das Maß des Neigungswinkels der Tangent im Punkt (p/f(p))

f(x)=2x^2-3, p=-2

Ich weiß zwar wie der Rechenweg geht, aber ich versteh nicht warum man 180+tan^-1(-8)  rechnet, also warum es 180 grad ist. Wie kann ichs erkennen?

 

gefragt vor 7 Monate
a
anonym,
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1 Antwort
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Hallo,

\(\arctan(-8) \approx -83°\). Die Frage ist nun, wie kann eine mathematische Größe wie ein Winkel negativ sein. 
Grundsätzlich, wenn man sich einen Einheitskreis vorstellt, startet man bei 0°, dies entspricht der 3 Uhr Position. Nun geht man bei größer werdendem Winkel gegen den Uhrzeigersinn. Z.B. 90° entspricht der 12 Uhr Position.

Würde ich aber -90° gehen, entspricht dies der 6 Uhr Position, da 360°-90°=270°. Man geht also wieder gegen den Uhrzeigersinn, und zwar 3/4 der Kreislänge.

Bei unserem Beispiel also 360°-83°=277°. Dies entspräche diesem Winkel:

Gingen wir den Weg im Uhrzeigersinn, erhalten wir:

Nun haben wir jedoch das Problem, dass dies nicht der gesuchte Steigungswinkel ist, sondern 180°-"gesuchter SW" ist.

An diesem Beispiel lässt es sich gut verdeutlichen:

Die grüne Gerade (pos. Steigung) hat eine Steigung m=3. In Grad entspräche das den 71.57°.

Suchen wir die Steigung von der grünen Gerden (neg. Steigung) bei m=-3, erhalten wir -71.57°.

Dies ist jedoch als Neigungswinkel falsch. Stellst du dir einen Kreis vor, der von der x-Achse geteilt wird und seinen Mittelpunkt auf dieser besitzt, so hat sowohl die untere als auch die obere Hälfte jeweils einen Winkel von 180°. Subtrahierst du nun von diesen 180° den Winkel \(\beta\), so bekommst du das "unmarkierte" Stück unterhalb der x-Achse. Sprich 180°-71.57° = 180°+(-71.57°)=108.43° oder in deinem Beispiel: 180°-82.87°=180°+(-82.87°)=97.13°.

geantwortet vor 7 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
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