Umkehrfunktion


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Hey 
Wir haben in der Schule das Thema Umkehrfunktion in Mathe besprochen.
Ich verstehe wie ich die Umkehrfunktion bilde,aber weiß dann nicht mehr weiter,was ich dann machen soll. 
Ich verstehe auch nicht den Unterschied zwischen Definitionsmenge und Wertemenge. 
Meine Aufgabe lautet:
Zeigen Sie,dass die Funktion f umkehrbar ist.Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f hoch -1.Geben Sie Df hoch -1 und Wf hoch -1 an. f(x)= 2/x-3 , x>3
Also die Umkehrfunktion ist ja dann : y= 2/x +3 oder?
Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter....
Wie bestimme ich jetzt die Definitionsmenge und Wertemenge und die Funktion ist doch umkehrbar,weil jedem x ein y Wert zugeordnet wird oder?
Vielen Dank im vorraus

 

gefragt vor 7 Monate, 1 Woche
c
cocom1607,
Schüler, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

\(f(x)=\dfrac{2}{x}-3 \longrightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{2}{x}+3\)

Wie du grundsätzlich Definitions- und Zielmenge bestimmst, weißt du?

DM: Du schaust, welche x-Werte du für deine Funktion einsetzen darfst, damit sie definiert ist.
ZM: Du schaust, welche Funktionswerte sich ergeben.

Z.B. \(g(x)=x^2 \;\;\; (x\in \mathbb{R})\). Dann gilt für die Definitionsmenge: \(D=\{x\in \mathbb{R}\}\) und für die Zielmenge: \(Z=\{x \in \mathbb{R} | x\geq 0\}\)

In deinem Beispiel hat \(f(x)\), genauso wie \(f^{-1}(x)\) eine Definitionslücke bei \(x=0\) (Division durch null). Da du aber nur Werte größer 3 einsetzen darfst, entfällt diese. Also gilt für beide: \(D=\{x|x>3\}\).

Für die Zielmenge entfällt hier der Bruch \(\dfrac{2}{x}\), da hier eine Division durch null stattfindet. Also bleibt in deiner Umkehrfunktion noch der Term \(+3\) übrig. Angenommen, der Bruch an der Stelle x=0 wäre null, dann hättest du als Funktionswert 3. Da dies jedoch nicht möglich ist, müsstest du schauen, ob du noch mit anderen x-Werten den FW f(x)=3 erreichst. Das ist nicht möglich. Also würde für die Zielmenge gelten \(Z=\{x\in \mathbb{R}|x\neq 3\}\). Allerdings gilt ja \(x>3\). Somit ist deine Funktion im Intervall \(]3,\infty[\) umkehrbar.

geantwortet vor 7 Monate, 1 Woche
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 
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