Anwendung des binomisches Lehrsatzes


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Hallo, ich gehe gerade meine alten Übungsserien durch und bin über folgende Umstellungen gestolpert:

\( \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} = \frac{\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} x^k - 1}{x} = \frac{\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} x^k}{x} \)

Das ist auch bereits der erste Schritt, den ich nicht verstehe. Warum erhalte ich \(x^k\) und nicht \(x^{p-k}\)? Und warum kann ich im letzten Schritt die -1 im Zähler einfach weglassen?

Weiter ging es dann mit:

\( \frac{\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} x^k}{x} = \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} x^{k-1} = \sum_{k=0}^{p-1} \binom{p-1}{k} x^k  = x^{p-1} \cdot \sum_{k=1}^{p-2} \binom{p}{k+1} x^k + p \)

Das letzte Gleich ist mir hier auch fraglich. Kann mir jemand helfen?

 

 

 

gefragt vor 6 Monate, 1 Woche
m
mathestudent97,
Student, Punkte: 2
 
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1 Antwort
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Hallo,

es gilt

\( (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n} {k} x^{n-k} y^k \)

Du hast 

\( (x+1)^p -1 = (1+x)^p -1  =  ( \sum_{k=0}^p \binom{p} {k} 1^{p-k} x^k ) -1 = ( \sum_{k=0}^p \binom{p} {k}  x^k ) -1 \)

Nun denke ich mal das beim zweiten Umformungsschritt vermutlich folgendes gemacht wurde

\( ( \sum_{k=0}^p \binom{p} {k} 1^{p-k} x^k ) -1 =  \binom {p} {0} x^0 + (\sum_{k=1}^p \binom{p} {k}  x^k ) -1 = 1 + ( \sum_{k=1}^p \binom{p} {k}  x^k ) -1 =  \sum_{k=1}^p \binom{p} {k} x^k \)

Deine Summe geht nun nur noch von \( k=1 \) bis \( p \). Der erste Summand der Reihe ergibt nämlich genau \( 1 \).

Damit macht auch die spätere Umformung wieder Sinn, mit \(p \to p-1 \). Denn damit können wir unsere Reihe wieder von \( k =0 \) starten lassen. 

Bin gerade noch unterwegs. Den letzten Schritt muss ich mal genau durch rechnen. Mache ich nacher. Vielleicht hilft das ja schon, dass du selbst drauf kommst :)

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

 


Ich muss leider sagen ich komme nur bis


\( \sum_{k=1}^p \binom{p} {k} x^{k-1} = \sum_{k=0}^p \binom{p} {k+1} x^{k} \)


Ich weiß nicht wieso


\( \sum_{k=0}^p \binom{p} {k+1} x^{k} =\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}{k}x^k \)


gelten soll. Wofür brauchst du diese Umformung? Könnten da evtl noch mehr Fehler sein?


Grüße Christian 


 

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche
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