Statistik Mengen


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Hi, könnte mir jemand helfen zu verstehen, wie man diese Aufgabe löst?:

 

Die Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments sei Ω = {1,2,3,4,5}^2 .

Betrachten Sie die Ereignisse

 

A={(i,j) Element von Ω: i = 1},      B={(i,j) Element von Ω: j=2}

C={(1,3),(2,2)},     D={(i,j) Element von Ω: i \ge  2, j = 2}

 

Es gelte P(A)=0,25, P(B)=0,35 und P(A U B)=0,45

 

Aufgabe a) Zeigen Sie: Für das Komplement C^{C} von C gilt P(C^{C}) "größer-gleich" 0,55

 

hierzu habe ich mir überlegt, dass P(C^{C}) = 1 - P(C), wenn ich jetzt aber  0,55 "größer-gleich" 1 - P(C) setze, hätte ich sofort die Lösung? Kann nicht sein.

 

 

Aufgabe b) Berechnen Sie P(D) 

 

hierzu habe ich mir überlegt, dass  P(X) = Betrag von X / Betrag von Ω ist, aber ich komme jetzt auch nicht weiter, wenn es nur darum geht nachzuzählen wieviele Möglichkeiten es gibt wenn ich i und j einsetze. Kann irgendwie auch nicht sein...

 

Hat jemand irgendeine Idee?

Als Orientierung kann ich noch sagen, das ist eine (alte) Klasuraufgabe. Klausur hat 5 Aufgaben, dass ist die letzte und einzige mit Mengen. Insgesamt gibt es 50 Punkte zu holen, hier gibt es für a) 3 Punkte und für b) 5 Punkte.

 

gefragt vor 7 Monate
s
stevesimson1,
Punkte: 0
 
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4 Antworten
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Aufgabenteil a):

\( C= \{ (1,3),(2,2) \} \subset A \cup B \Rightarrow P(C) \leq P(A \cup B)=0,45\)

\( \Rightarrow P(C^{C}) = 1 - P(C) \geq 1-0,45 = 0,55 \)

 

Aufgabenteil b):

Es gilt 

\( P(A)+P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) \)

Daraus erhält man durch das Einsetzen der gegeben Werte

\( P(A \cap B) = 0,15 \)

Es ist \( A \cap B = \{(1,2)\} \) und damit offensichtlich \( D = B \backslash (A \cap B) \)

Daraus erhalten wir

\( P(D) = P(B \backslash (A \cap B)) = P(B) - P( A \cap B) = 0,35 - 0,15 = 0,2 \)

geantwortet vor 7 Monate
k
kevin216,
Student, Punkte: 127
 

 


Danke für diese Antwort! Hat mir schon sehr weitergeholfen :)


 


Könntest du vielleicht noch genauer sagen wie du hierauf kommst:


...und damit offensichtlich 


xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi><mo>=</mo><mi>B</mi><mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">&#x2216;</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo>&#x2229;</mo><mi>B</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>">


so etwas steht nicht in meiner Formelsammlung und ich verstehe auch nicht wie man darauf kommen kann.


bei D ist das "i" 2, "j" = 2


das heißt (für mich), die Menge von B aber ohne alles was in Menge A ist, die Schnittmenge A


B


ist ja in A enthalten, oder habe ich das falsch gelernt? Deshalb würde sich für mich ergeben D = B -A


 

  -   stevesimson1, kommentiert vor 7 Monate
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Die Ausdrücke sind gleich, denn

\( B \backslash (A \cap B) = (B \backslash A) \cup (B \backslash B) = B \backslash A \)

Durch meinen Vorschlag haben wir aber mit \( A \cap B \) eine Teilmenge von B, weswegen man dann bei der Wahrscheinlichkeit der Differenzmenge \( B \backslash ( A \cap B) \) einfach die beiden Wahrscheinlichkeiten voneinander subtrahieren kann.

geantwortet vor 7 Monate
k
kevin216,
Student, Punkte: 127
 

Moment, es kann doch nicht das gleiche sein...


 


(AB) = 0,15




A = 0,25


Somit ist die Schnittmenge ungleich A, wodurch B minus Schnittmenge und B minus A


verschieden Ergebnisse haben...

  -   stevesimson1, kommentiert vor 7 Monate
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Schau dir noch einmal den Zwischenschritt an, es wird nirgendwo behauptet, dass \( A \cap B = A \) gelten soll. 

Die Gleichheit der beiden Ausdrücke kannst du dir auch sehr gut mit Hilfe von Venn-Diagrammen veranschaulichen.

geantwortet vor 7 Monate
k
kevin216,
Student, Punkte: 127
 
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Hallo stevesimson1,

hier ist das Venn-Diagramm:

  • Die linke »Mondsichel« des A-Kreises ist \(A\backslash B\).
  • Die rechte »Mondsichel« des B-Kreises ist \(B\backslash A\).
  • Die Linse in der Mitte ist die Schnittmenge \(A\cap B\).

\(B\backslash A\) bedeutet also nur, dass Du den Teil des B-Kreises betrachtest, in dem die Elemente der Menge B liegen, die nicht gleichzeitig Elemente der Menge A sind. Es bdeutet nicht, dass Du alle Elemente der Menge A von allen Elementen der Menge B abziehst (das wäre auch merkwürdig). Insofern ist sofort einsichtig, dass die Äquivalenz in Gleichung (1) gilt.

$$B\backslash A\leftrightarrow B\backslash (A\cap B)$$

Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 2 Monate, 1 Woche
jake2042, verified
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