Lineare Abbildung mit Basiswechsel -> Transformationsmatrix finden


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Hallo

Ich komme beim untersten Punkt nicht mehr ganz weiter, sofern ich überhaupt richtig vorgegangen bin. Ich muss ja eine Abbildung in ein Koordinatensystem mit der entsprechenden Basis B, welche mit den Vektoren v und u aufgestellt ist überführen.

Meine Idee wäre gewesen, sofern die Zahlen für L(u) und L(v) nicht so unangenehm wären die Abbildungen von u und v entsprechend als Vielfachen von ihnen hinzuschreiben, sodass ich dann die Transformationsmatrix aufstellen kann, aber irgendwie verstehe ich nicht ganz wie ich das angehen soll.

Am Schluss müsste man ja noch die Inverse der Transformationsmatrix berechnen und dann kann man die Matrix (bei mir als L definiert) nehmen und mit T^-1*L*T zum Schluss B berechnen.

Liege ich mit meinen Ansätzen richtig?

Liebe Grüsse

Wizz

 

gefragt vor 6 Monate, 3 Wochen
w
wizzlah,
Student, Punkte: 221
 
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1 Antwort
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Hallo,

zuerst die Bilder deiner Basisvektoren, sind die Spalten deiner Abbildungsmatrix, dass heißt

\( L = \begin{pmatrix} -2 & \frac 3 2 \\ -6 & 4 \end{pmatrix} \)

Jetzt wollen wir die Transformationsmatrix bestimmen. Wir haben die Basen

\( \mathcal{A} = \{e_1 , e_2 \} \) und \( \mathcal{B} = \{u , v \} \)

Um nun die Transforationsmatrix zu bestimmen, stellen wir die Vektoren aus \( \mathcal{B} \) durch die Vektoren der Basis \( \mathcal{A} \) dar. 

\( u = \binom 1 2 = 1 e_1 + 2 e_2 \\ v = \binom {-3} {-4} = -3e_1 -4e_2 \)

Die Transformationsmatrix, ergibt sich dann wieder indem man die Koeffizienten Spaltenweise auffüllt. 

\( T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \)

Nun müssen wir das Inverse berechnen, da \( (T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}})^{-1} = T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} \)

Wenn wir das Inverse bestimmt haben, berechnet sich unsere neue Darstellungsmatrix, über

\( L' = T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} \cdot L \cdot T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} \)

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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Vielen Dank habe es verstanden. War wohl zu viel Mathe gestern das mit den Spalten sollte ich eigentlich wissen :-)


LG 


Wizz

  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen
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