Nächster Versuch: Wie Fläche zwischen 4 Rechteck-ähnlichen Abbildungen bestimmen?


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Sorry für die neue Frage aber die kommentarfunktion speichert auch nach tausendmaligem Abschicken den kommentar einfach nicht.
Scheint wohl kaputt zu sein und es bleibt zu warten bis das mal repariert wird.

Zu meinem Problem:
wir haben zu beginn
das rechteck mit den abgrenzungslinien
x=0, x=4
y=0,y=5 gegeben.

billig einfach, lässt sich integrieren oder auch mit einfacher rechteckformel berechnen.

jetzt sind wir mal böse und sagen, wir ändern die obere und untere abgrenzung,
statt y=0, y=5 sollen die eiden abgrenzungen nun
y=sin(x), y=cos(x)+10 sein.


Das lässt sich auch noch einfahc berechnen:
integral x=0 bis 4 von (cos(x)+10)-integral x=0 bis 4 von sin(x))


nun sind wir aber hardcore und ändern die linke und rechte grenze auch noch.
statt x=0 und x=4 haben wir nun eben
x=sin(y)
x=y+0.04

hier lässt uns nun die integralrechnung im stich denn die linke und recht grenze sind keine glatten abgrenzungen mehr sondern schwanken je nach "höhe".

wie man für sowas den Flächeninhalt berechnet, das würde mich interessieren.
schließlich wird, trotz der 4 nicht geraden grenzen immer noch eine fläche mit einem Flächeninhalt eingegrenzt.

Sollte hier irgendjemand die grundlegende Vorgehensweise bei sowas kennen, dann würde mich auf obigem Aufbauend natürlich interessieren wie man die gleiche Aufgabenstellung in 3d löst (d.h. ein Volumen wird duch 6 beliebig geformte Ebenen begrenzt)


Edit: Ich seh übrigens immer noch keinen der Testkommentare unter der Frage, wgeen denen ich irgendwie 8 Benachrichtigungen oder so gekriegt habe.
Scheint wohl Firefox kaputt zu sein

 

gefragt vor 6 Monate, 3 Wochen
d
densch,
Student, Punkte: 77
 

@densch, sorry für viele Test-Kommentare :/ Ich versuche den Bug rauszufinden, scheint irgendwie Browser Problem zu sein. Ich melde mich sobald das Problem behoben ist. Danke dir schon mal für deine Geduld!

  -   anonym, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,

ich werde die Probleme dem technischen Support weiter geben. 

In deinem letzten Post wurde dir ja bereits gezeigt, wie dein Problem graphisch aussieht. Du hast verschiedenen Grenzen und irgendwo dazwischen liegt deine Funktion. 
Nun hast du aber das Problem, das wir ja trotzdem nicht wissen wo wir die Berechnung starten wollen. Die Begrenzungen laufen unendlich weiter. 

Nun könnte man wie von Holly in deinem letzten Post schon richtig angedeutet hat die Lösungen deines Gleichungssystems lösen ( die Schnittpunkte der Graphen ). 

\( x= \sin(y) \\ x= y+0,04 \\ y = \sin(x) \\ y = \cos(x) +10 \)

Wenn dieses System eine Lösung hat, dann hast du automatisch wieder feste Grenzen und du kannst das Problem lösen.

Ich bin mir nicht sicher warum die letzte Antwort dir nicht helfen konnte, vielleicht reicht es dir jetzt. Ansonsten melde dich nochmal.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

schnittpunkte berechnen ist nicht das Problem.
Aber wie hilft mir das dann?

zum Beispiel hier:
https://ibb.co/rkV8Ynd

Wenn ich nun irgendwie die Schnittpunkte ermittelt habe, wie komme ich auf den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche?


wenn ich so an Riemannintegrale und Co. denke bezweifle ich stark dass es da das einfache Integral tut.

  -   densch, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Ich versuche es nochmal anders ich glaube ich hatte mir da was falsch vorgestellt.


Graphisch ist eine 2D Funktion zu vergleichen mit Höhenlinien. Wenn du nun die Fläche zwischen diesen Graphen bestimmen willst, wie es in deinem Link dargestellt ist, beschreibt bereits die Funktion die Form des Gebildes und wir müssen dann nur noch Grenzen setzen um die Fläche zu bestimmen. 


Um es dir leichter vorzustellen, nimm einen Kreis. Die Funktion xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></math>">f(x,y)=x2+y2 beschreibt dann den Kreis. Die Integrationsgrenzen beschreiben dann die Größe des Kreises. 


Die Frage ist was du mit deinem Integral bestimmen willst? Hast du eine Aufgabe dieser Art aufbekommen?


Meiner Meinung nach erfüllt diese Integral keinen wirklichen Sinn, denn die Grenzen von x hängen von y und die Grenzen von y von x ab. Dadurch hast du eben keine genau definierten Grenzen. 


Die Frage nach der Integrierbarkeit hat egal nach welcher Definition nichts mit den Grenzen zu tun sonder bezieht sich immer nur die Funktion. 


 


Ich hoffe ich konnte etwas Klarheit verschaffen.

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Ist keine Hausaufgabe oder sonstwas, dafür bin ich schon zu lange aus der Schule raus.

Mir geht es an sich nur um die Frage:
Gegeben eine Fläche die durch ebenfalls beliebig viele gegebene Abbildungen (nicht zwingend Funktionen da ja nicht 1 zu 1 Verhältnis von Urbild zu Bild) begrenzt wird, wie berechnet man deren Flächeninhalt?
So ähnlich wie ein n-eck nur statt n-1 gerader linien sind da eben n-1 , unter Umständen komplett verschiedene, Abbildungen die die Begrenzungen bilden.
eben statt ner geraden Linie ein Sinus oder so.
So wie auf dem bild eben mit dem theoretsichen Rechteck.

Hat keinen wirklichen hintergrund die Frage, ist mehr so aus Eigeninteresse wie man grundsätzlich sowas löst.

Kann auch sein, dass das gar nicht berechenbar ist mit Integral.
Vielleicht bräuchte man da auch kurven oder Wegeintegrale, wer weiß?

Wie man sowas rechnet, hatte ich gehofft hier zu erfahren.
Denn wenn ich auf gutefrage und andere allgemeine Seiten gehe, sind die Leute da höchstens auf Schuldniveau und es tauchen so Frgaen auf wie "Ich weiß wie x^n integriert. aber wie integrier ich x^n-1?" bei denen ich nur voll Fremdschämen den kopf schütteln kann.


Mich interessierts halt grundsätzlich was so die mehrdimensionale Erweiterung des Integrals ist oder was es da so gibt, von daher die Frage. :-)

  -   densch, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

wobei, wenn ich so genauer hinschaue, könnte da die Sektorformel von Leibniz vielleicht hilfreich sein 

  -   densch, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Aufgaben muss man ja auch in der Uni bearbeiten ;)


Für eine geschlossene Kurve ist die Sektorformel von Leibnitz im Prinzip ein Spezialfall vom Satz von Green und somit ein Spezialfall vom Satz von Stokes.


Dieser sagt ganz grob aus, dass du die Fläche über den Rand berechnen kannst. Somit brauchen wir aber eine Funktion, die den Rand beschreibt.


Das ist im Prinzip das was ich gesagt habe. Du brauchst eine Funktion die den Rand beschreibt und dann können wir diese integrieren. 


Das Problem das wir hier haben, ist das wir die Funktion bräuchten die das beschreibt.


Ich wüsste leider nicht wie diese Funktion aussehen sollte. Deshalb kann ich dir da nichts genaueres zu sagen. Ich hab auch noch keine Funktion gesehen die dieses oder ein ähnliches Konstrukt beschreibt.


Man kann das ganze mittels Integralrechnung lösen ich denke nur das man die nötige Funktion dafür nummerisch bestimmen müsste. 

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Naja, wenn ich die Leibniz Formel richtig kapiert habe, muss ich ja nur eine Kurve gamma(t)=(x(t),y(t)) haben mit parameter t.
laut Wikipedia kann man die fläüche unterm Rand (oder wie auch immer es korrekt heißt) auch addieren wenn die Kurve abschnittsweise definiert ist.
Muss nur gucken dass die "Bewegungsrichtung die richtige ist.

die oben genannten Funktionen müssten sich ja recht einfahc parametrisieren lassen mittels
gamma(t)=(x(t),y(t))=(t,f(t))
also letztlich x als parameter nehmen.
oder y, je nachem was sinnvoller ist.
und mit leibnizformel für die 4 kurven die orientierten Flächeninhalte berechnen und alle addieren.
muss man nur gucken dass ich den Parameter so wähle dass die richtung stimmt.

Formel von stokes und green kenne ich nicht, habe die formel von leibniz auch nur über google gefunden und kannte die vorher nicht.

die sollte wohl für meine zwecke, gerade bei so mehr oder wneiger geschlossenen kurven wie bei mir, ihren zweck erfüllen.


  -   densch, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Ja hast du richtig kapiert, aber das Problem liegt wie ich bereits einige mal gesagt habe darin die richtige Kurve zu finden, also den Rand als Funktion darzustellen.


Du hast zum Beispiel die Funktion \( x = \cos(y) + 5\pi \) angegeben.


Wenn du die Kurve jetzt mit \( \gamma (t) = (t, f(t) ) \) parametriesierst, erhälst du ja nicht die selben Werte. 


\( t= 1 \Rightarrow x = \cos(1) + 5\pi = 5,172\pi \neq 1 \)


Das man das ganze mittels Integralrechnung lösen kann habe ich ja schon gesagt und das die Leibnitz Formel dafür ein guter Ansatz ist, ist auch richtig. 


Ich meinte nur das ich dir das bei deinen Angaben (Siehe Link) nicht bestimmen kann, da ich die Kurve leider auch nicht aufstellen könnte. 
Ich denke wie gesagt auch eher, dass das ganze nummerisch bei solchen Kurven von statten geht. 

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

ich glaube das ganze würde schon dadurch zu schwer werden, überhaupt die schnittpunkte zu berechnen.Weil wenn ich bspw. 
x=sin(y)y=cos(x)+10


und will den schnittpunkt, müsste ich letztlich sowas wie
y=cos(sin(y))+10 lösen.

bei dem ich befürchte dass es nur numerisch geht :-(

  -   densch, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Ja das stimmt. Selbst die Berechnung der Schnittpunkte müsste man wohl nummerisch lösen.


Hast dir also keine leichte Aufgabe ausgesucht ;)

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen
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