Stammfunktion von brüchen?


0

Hallo,

Also die frage wäre auf folgende Aufgaben bezogen: 

 3/x

2+4x/x

2x-5/x^2

Was ich mal gehört habe wäre dass die stammfunktion ln(x) ist, aber ich bin mir da noch unsicher. Also mit diesem Wissen würde ich jetzt die antwort so schreiben

3*ln(x)

2+4x*ln(x)

2-5*ln(x)

 

 

gefragt vor 7 Monate
a
 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
2 Antworten
0

 

Hallo,

I:
a) grundsätzlich gilt \(\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}\)

b) Und nach dem HDI \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\, dx = \ln x +C\).

II:
Wenn du Brüche wie \(\dfrac{n}{x}\) hast, kannst du jederzeit das \(n\) vor den Bruch ziehen und als Vorfaktor sogar vor das Integral, sodass du wieder den Bruch in Form von \(\dfrac{1}{x}\) hast.

b) Hast du im Nenner einen "komplexeren" Term, würde ich zur Substitution raten.

III:
Steht im Zähler die Ableitung des Nenners, so ist die Stammfunktion der Logarithmus des Nenners:

\(\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{g'(x)}{g(x)} \longrightarrow \displaystyle\int\dfrac{f(x)}{g(x)}=\ln(g(x))+C\) bzw. \(\ln(|g(x)|)+C\) (reellwertiger Log).
Natürlich kann man hier auch noch Faktoren etc. vor den Bruch ziehen, falls die Ableitung des Nenners nicht ganz dem Zähler entspricht. 


- 3/x mit 3*ln(x) passt (ggf. Betragsstriche ergänzen [vide supra])

- \(\displaystyle\int 2+\dfrac{4x}{x}\, dx = 6x+C\)

- Bei 2x-5/x^2 die Summenregel anwenden und für \(\dfrac{-5}{x^2}\) gilt \(-5\dfrac{1}{x^2}\) und dann weiter mit der Potenzregel.

 

geantwortet vor 7 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13176
 

Danke 

  -   alsamirai.yaseen, kommentiert vor 7 Monate
Kommentar schreiben Diese Antwort melden
0

Die erste Antwort ist korrekt da 3/x=3*1/x. Da du den 3er vor ziehen darfst musst du nur das Integral von 1/x betrachten und dies ist der ln(x). Dann musst du den 3er noch beachten und daher ist es gemeinsam 3*ln(x).

Zur zweiten Aufgabe:

(2+4x)/x=2/x + 4x/x. Diese Ausdrücke darfst du dir einzeln ansehen. Für 2/x gilt das gleiche wie oben 2/x=2*1/x. Daher 2*ln(x). Für 4x/x gilt: 4x/x=4 und das Integral von 4 ist 4x. Daher hast du als Ergebnis 2*ln(x)+4x.

Probiere eventuell mit dieser Hilfestellung das dritte Beispiel zu lösen.

geantwortet vor 7 Monate
p
perseus,
Punkte: 61
 

Alles klar, also dritte aufgabe:


Funktion: 2x-5/x^2


Getrennt sehe es so aus


2x/x^2 + (-5)/x^2


Zusammengefasst:


2/x - 5/x^2


Also was ich schon aufjedenfall hab ist 2*ln(x)-.....


-5/x^2


Ist jetzt kompliziert... da kann ich höchstwahrscheinlich ja -5* 1/x^2 machen. Dann sähe es ja so aus:


-5*ln(x^2) logisch wäre es halt so mit meinen Wissen.


Also zsm gfst: 2*ln(x)-5x^2???


Bin mir sicher dass da etwas mit dem -5x^2 nicht stimmen kann


 

  -   alsamirai.yaseen, kommentiert vor 7 Monate

Der erste Teil bis 2*ln(x) stimmt schonmal.


Bei -5/x^2 wird es ein bisschen schwieriger. Dies kannst du, wie du bereits gesagt hast, umschreiben auf -5*1/x^2. Die -5 darfst du wieder nach vorne ziehen. Daher musst du jetzt das integral über 1/x^2 bilden. 1/x^2 umgeschrieben ist x^-2. Nach dem Hauptsatz ist das Integral davon (x^n+1)/(n+1). In unserem Fall ist n=-2. Daher ist das Integral von 1/x^2=(x^-1)/-1. Wenn du du dann das x wieder in den Nenner bringst ist es -1/x. Nun musst du es noch mit -5 multiplizieren und dieser Teil vom integral ist daher 5/x.


Daher ist dein Gesamtergebnis 2*ln(x)+5/x

  -   perseus, kommentiert vor 7 Monate

Alles klar, danke. Wir haben das mit x2 nicht so intensiv besprochen. Aber jetzt bin ich sicher mit stammfubktionen von brüchen

  -   alsamirai.yaseen, kommentiert vor 7 Monate

test 

  -   anonym, kommentiert vor 7 Monate
Kommentar schreiben Diese Antwort melden