Matrix in symmetrische quadratische Form überführen


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Guten Tag,

 

Donnertag steht die Klausur an und diese Aufgabe hier erscheint mir wie chinesisch :(

Ich habe von Daniel kein Video über die Überführung einer Matrix in die symmetrische quadratische Form gefunden und würde mich so freuen über eine Erklärung, dass ich es auch verstehe :)

Wie kommt bei der Aufgabe c) das 1/2 bzw. 1/a zustande?

Wie errechne ich diese symmetrische Matrix?

Wie hängt das mit der positiven/negativen Definitheit zusammen?

Habt ihr einen Tip, welche Regeln ich mir für diese gesamte Aufgabe nochmal anschauen könnte?

Hier die Aufgabe, lösung hab ich.

Vielen herzlichen Dank und einen schönen Abend noch

Sarah

 

gefragt vor 7 Monate
s
sarahwiwi,
Student, Punkte: 107
 

Guten Morgen, 


Kann das jemand kurz kommentieren?


Würde mir arg helfen, liebe Grüße 

  -   sarahwiwi, kommentiert vor 7 Monate
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1 Antwort
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Hallo,

ich musste da etwas länger drüber nachdenken. Ich denke in c) wird eine Abwandlung der Polarisationsformel genutzt. Daher gehe ich aber auch mal davon aus, dass der Bruch \( \frac 1 a \) ein Fehler ist und auch dort ein \( \frac 1 2 \) stehen sollte.

Ich denke wenn du so kurz vor deiner Klausur bist, solltest du dir merken, dass du die symmetrische Matrix über \( B = \frac 1 2 (A + A^T ) \) bestimmen kannst.
(Um es dir vorzustellen, wenn du eine Matrix mit ihrer transponierten addierst, erhälst du immer eine symmetrische Matrix)

Definitheit sagt aus, ob die Ergebnisse alle positiv, negativ oder keins von beiden sind. 
Bei dir ist nach der Definitheit in einem Punkt gefragt. Genauso hätte man auch fragen können, für welche \( a \in \mathbb{R} \) wir ein positives bzw negatives Ergebnis erhalten.

Wenn noch Fragen offen sind melde dich nochmal :)

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 15068
 

Achso das ist also ein Fehler, das erklärt alles. So kann ich es mir gut merken!


Vielen lieben Dank und einen schönen Tag dir noch :) 

  -   sarahwiwi, kommentiert vor 7 Monate

Ich kann es mir nicht anders vorstellen. Vor allem da im nächsten Schritt wieder ein \( \frac 1 2 \) steht. 


Freut mich zu hören. Den wünsche ich dir auch und viel Erfolg bei deiner Prüfung :)

  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate

Hallo Christian,


eine Frage hab ich noch.


Du hattest geschrieben, dass sie auch hätten fragen können, für welche a Element R wir ein positives, negatives Ergebnis hätten.


Die Antwort wäre doch für alle a größer 0 positiv definit


Und für alle a kleiner 0 negativ definitiv. Für a=0 dann indefinit. Ist das richtig?


Liebe Grüße und vielen lieben Dank für deine Mühe!


Sarah 

  -   sarahwiwi, kommentiert vor 7 Monate

Wir haben für den Vektor \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) das Ergebnis \( a+20 \) erhalten. 


Jetzt geht es darum dass das Ergebnis positiv oder negativ ist (oder eben keins von beiden).


Würdest du jetzt \( a=0 \) setzen, würdest du


\( 0 + 20 = 20 > 0 \) erhalten. 


Das gilt eben für alle \( a > -20 \). Bei \( a = -20 \) erhalten wir


\( -20 + 20 = 0 \). 


Mit \( a = -20 \) wäre die Matrix in diesem Punkt also indefinit, usw.


Die Lösung oben stimmt also.


Was ich im Prinzip meinte ist, das Definitheit ganz grob gefasst dafür steht, ob die Werte positiv oder negativ sind. 


Ist eine quadratische Form ganz allgemein positiv definit, so ist es egal welchen Punkt wir einsetzen, das Ergebnis ist immer positiv.


Analog sind bei negativer Definitheit alle Ergebnisse negativ.


Da hier aber von der Definitheit in einem Punkt die Rede ist, geht es nur um das Ergebnis des Punktes.


Ich hoffe ich konnte die Frage klären :)

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 4 Wochen
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