Räumliche Spiegelung mit vorgegebener Matrix und Vektoren


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Hallo

Ich komme am Schluss bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.

Eigentlich kann man ja für die Matrix einfach nur die Koeffizienten reinschreiben. Doch hier mit dem Sinus und Cosinus verstehe ich nicht wie ich das machen soll.

Könnte man mir dann auch gleich noch für die Matrix C Tipps geben? Ich hätte einfach die Abbildungen mit den Basisvektoren e2,-e3 und e1 ausgedrückt. Aber auch hier fehlt mir der Ansatz.

Liebe Grüße und danke

Wizz

 

gefragt vor 4 Monate, 3 Wochen
w
wizzlah,
Student, Punkte: 196
 
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1 Antwort
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Hallo,

ein Tipp zu dem was du geschrieben hast. Schau mal hier diese beiden Additionstheoreme zeigen direkt, dass deine Aussage gilt. Ist etwas weniger Rechenarbeit. Aber soweit sieht schon mal alles richtig aus.

Um nun die Matrix B zu bestimmen, musst du eine Basistransformation durchführen. Du hast die Basen

\( \mathcal{A} = \{ e_1 , e_2 , e_3 \} \) und \( \mathcal{B} = \{v_1 , v_2 , v_3 \} \)

Nun müssen wir die Elemente der Basis \( \mathcal{B} \) durch die Elemente der Basis \( \mathcal{A} \) darstellen. 

\( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = e_1 \) (trivial)

(Behandle den Sinus und Kosinus wie normale Konstanten, setze wenn es dich trotzdem noch etwas verwirrt \( \cos(\alpha)= c \) und \( \sin(\alpha) = s \))

\( v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{pmatrix} = 0 \cdot e_1 + \cos(\alpha) \cdot e_2 + \sin(\alpha) \cdot e_3 = ce_2 + se_3  \)

Das musst du nun noch mit dem dritten Vektor machen. 

Die Ergebnisse musst du nun wieder Spaltenweise in eine Matrix schreiben (wie bei deiner letzten Aufgabe)  und du erhälst die Transformationsmatrix \( T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} \).

Für die Matrix C, würde ich wieder von der usprünglichen Matrix A ausgehen. Hier ist das darstellen nicht das schwierige, achte auf die richtige Reihenfolge der Koeffizienten.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14033
 

Hallo Christian


Erstmal vielen Dank für deine Hilfe jedes Mal das hilft mir wirklich viel!


Hier meine Fortsetzung:



Ich habe nun die Matrix B mit den Basisvektoren aus A aufgestellt und denke, dass das nun richtig sein sollte. Das mit den Konstanten habe ich auch begriffen, irgendwie habe ich da zu kompliziert darüber nachgedacht.


Ist das nun korrekt, dass meine Matrix B gleichzeitig die Transformationsmatrix ist, mit der ich dann C berechnen kann? Oder überseh ich da was?


Matrix C wäre ja dann einfach T^(-1)*B*T oder?


LG 
Wizz

  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Was ich auch nicht sehe ist, weshalb du für die Basis A die Vektoren e1 e2 und e3 nehmen kannst. Das ist doch nirgends definiert? 

  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Die Matrix A ist bezogen auf die Standardbasis. So ist es eigentlich immer wenn dort nichts steht.


Du sollst nun die Matrix B berechnen, welche die selbe Abbildung darstellt nur im Bezug auf die Basis \( \mathcal{B} \).


Was du dort bestimmt hast ist die Transformationsformel \( T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} \). Die Matrix B erhälst du nun über


\( B= (T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}})^{-1} \cdot A \cdot T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{B}} \)


Nun geht es darum C zu bestimmen. Jetzt kannst du dir aussuchen ob du von der Basis \( \mathcal{A} \) in die Basis \( \mathcal{C} \) wechselst, über


\( C= (T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{C}})^{-1} \cdot A \cdot T_{\mathcal{A}}^{\mathcal{C}}\)


oder von Basis \( \mathcal{B} \) in die Basis \( \mathcal{C} \) wechselst, über


\( C= (T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}})^{-1} \cdot B \cdot T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \)


ich persöhnlich würde den ersten Fall nehmen, da es am leichtesten ist andere Vektoren über die Standardbasis darzustellenen.


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Alles klar danke vielmals ich denke ich habe es nun verstanden :-) 


LG 


Wizz

  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
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