Lineare Differentialoperatoren


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Hallo

Ich habe hier eine schwere Aufgabe bei der ich nicht mehr richtig weiterkomme. Für jegliche Hilfe bin ich wie immer dankbar.
Der Anfang ist denke ich nicht schlecht, aber wie man sieht bin ich hier nicht weit gekommen. Der Ausdruck für D(f)(x) ist ja eine DGL und die kann ich ja eigentlich gut lösen. Mir ist auch klar wie ich die Linearität zeigen kann, aber hier will es mir nicht so richtig gelingen weil ich die Faktoren nicht auseinanderziehen kann und das Lambda im Exponent steht.

LG

Wizz

 

gefragt vor 5 Monate
w
wizzlah,
Student, Punkte: 196
 
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1 Antwort
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Hallo,

der Differentialoperator ist keine DGL! Wie in dem Wort bereits steht ist eine DGL eine Gleichung. Die haben wir hier nicht gegeben, sonder eine Definition ( durch das := wird der Operator definiert)

Der Differentialoperator ist definiert über

\( D(f)(x) := f''(x) - f'(x)-2f(x) \)

Um nun die Linearität zu zeigen, musst du folgendes zeigen

\( D(f+\lambda g)(x) = D(f)(x) + \lambda D(g)(x) \), also

\( D(f+ \lambda g)(x) = \frac {d^2 (f+ \lambda g)(x)} {dx^2} - \frac {d (f+ \lambda g)(x)} {dx} - 2(f+ \lambda g)(x) \)

Nun musst du die Regeln der normalen Ableitung, also des "standardmäßigen" Differentialoperators \( \frac d {dx} \) nutzen um die Linearität zu zeigen.

Wenn wir nun zum Kern der Abbildung kommen, ist dein Grundgedanke der DGL richtig, da wir nun 

\( f''(x) - f'(x)-2f(x) = 0 \) 

setzen können und dies ist nun eine DGL. Der Lösungsraum dieser DGL ist dann der Kern deines Operators. 

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14128
 

Ok danke dir ich bin schonmal ein gutes Stück weitergekommen, doch wie zeige ich nun, dass D den Unterraum W = p(x)e^(2x) | p Polynom von Grad <= 2 in sich abbildet? Eine Lösungsmenge für die Abbildung habe ich ja bereits gefunden und ich sehe ja, dass e^(2x) ein Bestandteil davon ist, jedoch sehe ich nicht wie ich das einfach vor das Polynom ziehen kann und wie damit gezeigt ist, dass dieses Polynon die vorgegebene Bedingung erfüllt.


 

  -   wizzlah, kommentiert vor 5 Monate

Was passiert denn mit \( p(x)e^{2x} \) wenn du deinen Differentialoperator darauf anwendest?


Setze \( p(x) = ax^2+bx+c \), dann fällt es dir vermutlich am leichtesten 


\( D(p(x)e^{2x}) = \frac {d^2 ( p(x)e^{2x})} {dx^2} - \frac {d (p(x)e^{2x})} {dx} -2 (p(x)e^{2x}) \ldots\) 


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 4 Wochen

Vielen Dank ! 

  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 4 Wochen
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