Exponentialgleichung (Tilgunsdauer) mit X einmal als Exponent und enmal als Basis - wie lösen?


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Hallo zusammen,

so viel, wie ich jetzt auch herumgegoogelt habe - ich hab bisher nicht wirklich eine Lösung für diese Gleichung gefunden.
In einem Forum hieß es sogar, dass solch eine Gleichung analytisch nicht lösbar wäre:

Um die Tilgunsdauer eines Kredits (40.000 €) zu berechnen (Anuität - also immer gleich hohe Raten für Zinsen + Tilgung zusammen 4.000 € jährlich - Zinssatz 8%...), haben wir folgende einfache Formel aufgestellt:

\( 40000 * 1,08^n = 4000 * n\)

Wie konnten aber keinen Weg finden, sie (durch logarithmieren) zu lösen. Am Ende haben wir das 'n' einmal als einfache Zahl und einmal als lg(n)... und dann wissen wir nicht weiter...

Was ich gefunden habe, ist eine fertige Formel, um die Tilgungsdauer zu berechnen...
... und ich Frage mich, ob diese, die Gleichung wie oben, als Ausgansbasis hatte und ggf. wie sie dann umgeformt wurde. Es wäre diese Formel:

\( n = \frac {ln 4000 - \ln (4000 - 40000 *0,08)} {\ln 1,08}\)

Kann jemand das Rätsel lösen?

 

 

 

gefragt vor 5 Monate, 3 Wochen
l
lelylesipe,
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1 Antwort
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Schau dir mal das Video an.

Verstehe eure gefundene Formel nicht, wie seid ihr da drauf gekommen?

 

Also die Formel für die Annuität ist:
Annuität = Kreditsumme  \(* \frac{(1+Zinsatz)^{Laufzeit}*Zinsatz}{(1+Zinssatz^{Laufzeit}-1} \)

 

Hier also

\( 4000=40000\frac{1.08^n*0.08}{1.08^n-1} \)

\(0.1=\frac{1.08^n*0.08}{1.08^n-1} \)

\(0.1*(1.08^n-1)=1.08^n*0.08 \)

\(1.08^n-1=0.8*1.08^n \)

\(-1=0.8*1.08^n-1.08^n \)

\(-1=-0.2*1.08^n \)

\(1=0.2*1.08^n \)

\(5=1.08^n \)

\(log_{1.08}(5)=n \)

\(n \approx 21 \)

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
i
ikeek, verified
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