Minimalpolynom


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Guten Tag

Meine Frage bezieht sich auf die Diagonalisierbarkeit von Matrizen.

Kann ich mit dem Minimalpolynom einer Matrix auch überprüfen ob die Matrix diagonalisierbar ist?

Und geht dies dann genau gleich wie mit dem Charakteristischen Polynom?

 

Meine Intuition ist dass es genau gleich geht da ja keine "Informationen" verloren gehen die für die Diagonalisierbarkeit wichtig sind. Sprich die Nullstellen sind ja die gleichen.

 

Vielen Dank

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
c
chrugi,
Student, Punkte: 38
 
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2 Antworten
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Hallo,

wenn das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, kann man sofort auf Diagonalisierbarkeit schließen. Wenn das Minimalpolynom komplett in Linearfaktoren zerfällt, diese aber nicht paarweise verschieden sind, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar, sonder nur trigonalisierbar. 

Als Beispiel, die Matrix

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

hat als Minimalpolynom \( m(\lambda) = \lambda^2 \), zerfällt also über beispielsweise \( \mathbb{R} \) in Linearfaktoren, aber ist nicht diagonalisierbar.

Das Minimalpolynom beinhaltet alle Eigenwerte, muss aber nicht die selben algebraische Vielfachheit haben wie im charakteristischen Polynom. 

Das Minimalpolynom ist das normierte Polynom niedrigsten Grades, für das noch gilt \( m(A) =0 \).

In Bezug auf die Trigonalisierbarkeit ist die Vielfachheit einer Nullstelle im Minimalpolynom die Länge der längsten Hauptvektorenkette zu diesem Eigenwert. Somit kann man sich leicht vorstellen, dass wenn diese Vielfachheit nicht 1 ist, dann erzeugen wir natürlich auch keine Diagonalmatrix.

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
christianteam, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13318
 

hallo


Vielen Dank, ich habe erst jetzt gemerkt dass ich den Unterschied zwischen verschieden und paarweise verschieden gar nicht verstanden hatte...


jetzt ist es klar. Vielen Dank :)


 


Grüsse Christian

  -   chrugi, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen

Freut mich zu hören. :)


Grüße Christian

  -   christianteam, verified kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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1

Ja, wenn das Minimalpolynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt ist die Matrix diagbar.

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
i
ikeek, verified
Lehrer/Professor, Punkte: 775
 

Muss nicht noch die alg.Vielfachheit gleich der geometrischen sein?


Da in dem komplexen Zahlenraum ja alle polynome in linearfaktoren zerfallen?


Oder bin ich falsch?

  -   chrugi, kommentiert vor 3 Monate, 3 Wochen
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