Summenschreibweise Aufgabe


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mir fiel kein besserer Titel ein.
Gegeben seien a1,a2,...,an , b1,b2,...,bn.

ich will zeigen dass
a1*(b1)+a2*(b1+b2)+a3*(b1+b2+b3)+...+an*(b1+b2+...+bn)
das Gleiche ist wie
b1*(a1+a2+...+an)+b2*(a2+...+an)+....+bn*(an)

(ist jetzt nur meine Vermutung dass es so ist.
Brauche jedenfalls einen Ausdruck in dem die b1,b2, etc. ausgeklammert sind.)

und das in summenschreibweise.
habe schon zig versuche gestartet, aber ich komm dan immer mit den indizes und co komplett durcheinander :-(

einer von vielen Versuchen wäre

summe i=1 bis n (summe k=1 bis i (ai*bk))
=summe i=1 bis n (summe k=i bis n (bi*ak))

ich bin mir aber weder sicher ob das stimm, noch wie man es beweisen könnte
Summenzeichen vertauschen ist nicht machbar, da innere summe vom laufindex der äusseren summe abhängt.

Wie kann ich das beweisen? :-/

Edit: Der EInfahcheit halber sollen  a1-an,b1-bn alles nur einfache, reeller Zahlen sein.
Also nix aussergewöhnliches.
Es geht rein um die Umformung der einen Doppelsumme in die Andere.

 

gefragt vor 6 Monate, 3 Wochen
d
densch,
Student, Punkte: 77
 
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1 Antwort
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Hallo,

ich glaube du hast dich verschrieben. Bei deiner Beschreibung der rechten Seite der Gleichung schriebst du

\( \ldots + b_2(a_1 + \ldots + a_{n-1} ) + \ldots \)

Ich vermute es sollte 

\( \ldots + b_2(a_2 + \ldots + a_{n} ) + \ldots \)

heißen, oder?

Wenn ja, würde ich das ganze folgendermaßen als Reihe darstellen

\( \sum_{i=1}^n(a_i \cdot (\sum_{k=1}^{i} b_k )) = \sum_{i=1}^n (b_i \cdot (\sum_{k=i}^n a_k )) \)

Das kannst du nun relativ leicht mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen. 

Probiere es mal ansonsten melde dich nochmal.

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

induktionsanfang kriege ich noch hin, aber beim induktionsschritt verzweifle ich.
Bei den doppelsummen komme ich durcheinander durch das n+1 :-/

  -   densch, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

\( n \to n+1 \)


\( \sum_{i=1}^{n+1} (a_i \cdot (\sum_{k=1}^{i} b_k )) = \sum_{i=1}^{n+1} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n+1} a_k)) \)


Die Linke Seite aufzusplitten ist relativ einfach


\( \sum_{i=1}^{n} (a_i \cdot (\sum_{k=1}^{i} b_k )) + (a_{n+1} \cdot (\sum_{k=1}^{n+1} b_k)) \)


Nun zur Rechten. Wir fangen mit der äußere Summe an


\( \sum_{i=1}^{n+1} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n+1} a_k))  = \sum_{i=1}^{n} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n+1} a_k) ) + b_{n+1}a_{n+1} \)


Nun zur inneren Summe


\( = \sum_{i=1}^{n} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n} a_k) + a_{n+1} ) + b_{n+1}a_{n+1} = \sum_{i=1}^{n} (b_i \cdot (\sum_{k=i}^{n} a_k)) + \sum_{i=1}^{n} (b_i \cdot a_{n+1} ) + a_{n+1}b_{n+1} \)


Kommst du von hier weiter?


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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