Normalformen, Transformationsmatrix mit Eigenwerte bestimmen


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Hallo

Warum muss man bei dieser Aufgabe det(L*E-A) rechnen und nicht wie gewohnt det(A-L*E), wobei E = Einheitsmatrix und L = lambda (Parameter).

Und mit der Matrix aus Teilaufgabe a gelingt es mir nicht passende Vektoren zu finden, womit ich dann die Transformationsmatrix ermitteln kann.

Bin sehr dankbar auch für eine etwas ausführliche Erklärung :-)
Sorry für meine zahlreichen Fragen.

LG 

Wizz

 

gefragt vor 6 Monate, 3 Wochen
w
wizzlah,
Student, Punkte: 226
 
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2 Antworten
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Hallo,

wie Jan sagt ist es egal wie rum du es rechnest. In deiner letzten Frage habe ich dir eine grobe Herleitung geschrieben. Das macht es für dich vielleicht etwas verständlicher. 

Was genau versuchst du zu berechnen, durch \( (A- \lambda E)v_1 = v_2 \) ? 

Du hast zum Eigenwert \( \lambda _1 = 1 \) den Eigenvektor \( v_1 \) gefunden. Nun hast du die algebraische Vielfachheit 1. Du findest zum Eigenwert Eins also nur einen Eigenvektor. 

Merke dir! Zu jedem Eigenwert findest du mindestens einen und maximal so viele Eigenvektoren wie die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes ist.

Du findest nun noch einen zweiten Eigenvektor und zwar den zum Eigenwert \( \lambda _2 = 3 \).

Und immer heraus mit den Fragen. Dafür sind wir hier ;)

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Hallo


Also bei deiner Frage wieso ich (A-L*E)v1 = v2 (sorry, ich weiss ich sollte mir angewöhnen den Latex-Editor zu benutzen) benutzen.


In der Vorlesung wurde uns das so gezeigt, indem wir einen einen Vektor v1 wählen und dann einen linear Unabhängigen Vektor v1 daraus bilden, um dann die Transformationsmatrix angeben zu können.


Ich habe es leider noch nicht genau verstanden, sondern einfach mal versucht anzuwenden.


Hier ansonsten meine Notizen dazu:





LG Wizz


 

  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Ich dachte eben, dass es notwendig sein um die Transformationsmatrix zu finden. 


Was wäre ansonsten der übliche Weg?


LG Wizz

  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen



sieht das einigermassen plausibel aus? 


LG Wizz

  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Am Anfang ist es schon mehr Arbeit auf Latex zurück zugreifen, aber man gewöhnt sich dran. Allerdings hast du im Gegensatz zu mir eine sehr leserliche Handschrift. Also passt es auch so.
Ich könnte hier niemanden zumuten Handgeschriebenes von mir zu entziffern ;)


Bei der a) hast du noch einen Flüchtigkeitsfehler der mir aber auch unglaublich oft passiert ist.


Dein zweiter Eigenvektor, also der zum Eigenwert \( \lambda_2 = 3 \) hat vertauschte Komponenten, es gilt


\( \begin{pmatrix} 1 \\ \frac 3 5 \end{pmatrix} \)


Du hast nach \( y \) umgestellt, also ist \( y \) das \( \frac 3 5 \)-fache von \( x \). Da immer noch einmal drüber gucken ;)


Ansonsten hast du es so genau richtig bestimmt. Und genau so bestimmt man auch die Transformationsmatrix.


Ich hatte auch nochmal nach geguckt, aber nichts zu \( (A- \lambda E )v_2 = v_1 \) gefunden. Macht für mich auch irgendwie nicht sonderlich viel Sinn, da du ja eh schon alle Eigenvektoren zu diesem \( \lambda \) gefunden hast.
Aber frag da am besten noch einmal nach. Vielleicht habe ich einen Denkfehler.

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Zur b)


Beim einsetzen der zweiten in die erste Gleichung, ist dir ein Fehler unterlaufen.


Es heißt


\( -2x + x + ix - ix - i^2x = -x - (-1)x = -x +x = 0 \)


Wir erhalten also eine Nullzeile, \( 0=0 \).


Die Nullzeile ist ein Indiz dafür, das du es richtig gemacht hast. Bedenke, das wir immer eine komplette Lösungsgerade erhalten. Wir bekommen also immer unendlich viele Lösungen für einen Eigenvektor. Für ein LGS bedeutet unendlich viele Lösungen, das wir eine Nullzeile vorliegen haben.
Wenn du mal zwei Eigenvektoren zu einem Eigenwert bekommst, dann wirst du im Gleichungssystem auch zwei Nullzeilen haben. 
Daran kann man sich etwas orientieren. 


\( v_2 \) hast du richtig bestimmt. Nur würde ich hier das t aus dem Vektor herausziehen, also


\( t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1-i \end{pmatrix} \)


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Super vielen Dank habs gesehen :-)

  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen
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Es ist egal. Sie können sowohl mit \( \det(A- \lambda E) \) rechnen als auch mit \( \det(\lambda E - A) \), was sofort aus der Eigenwertgleichung \( A v = \lambda v \) folgt.

 

geantwortet vor 6 Monate, 3 Wochen
jan96,
Student, Punkte: 50
 
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