Den beweis erklären


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 no 9

Habe den Beweis nur teilwiese verstanden in der Lösung sagte er:Beim quadreieren der letzte ziffer( man weiss nicht der letzte ziffer)steht eine Zahl, die nicht auf Null endet!! woher weis er das? die zahl ist unendlich!

 

gefragt vor 6 Monate, 2 Wochen
c
city1,
Schüler, Punkte: -135
 
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1 Antwort
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Hallo,

in diesem Beweis wird angenommen, dass \( \sqrt{2} \) eine abbrechende Dezimalzahl ist. Es ist also ein Widerspruchsbeweis.

Wir stellen diese Annahme. Dadurch nehmen wir auch an, das es eine letzte Nachkommastelle gibt.

Nun wissen wir \( 1 < \sqrt{2} < 2 \). Desweiteren wissen wir, dass es keine natürliche Zahl zwischen \( 1 \) und \( 2 \) gibt. Also muss \( \sqrt{2} \) mindestens eine Nachkommastelle haben die nicht Null ist. 
Wenn wir diese Zahl nun quadrieren würde, dann hat unser Quadrat aber auch eine Nachkommastelle die ungleich Null ist. Somit kann das Quadrat keine natürliche Zahl sein, was im Widerspruch dazu steht, das \((\sqrt{2})^2 = 2 \) eine natürliche Zahl ist.

Damit wissen wir nun, dass \( \sqrt{2} \) keine abbrechende Dezimalzahl ist. Außerdem ist \( \sqrt{2} \) keine natürliche Zahl. 

Es bleibt also nur noch, dass \( \sqrt{2} \) eine nichtabbrechende Dezimalzahl ist.

Ich weiß leider nicht genau, was bei dir auf Seite 117 steht, aber ich denke so sollte der Beweis gemeint sein.

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14793
 

hallo, ich lese deine Antwort. hier die Siete 117 zum sehen.


 


ich habe katastrophe den Zusammenhang zu verstehen, es dauert unglaublich sehr lang bis ich verstehe, ich versteh JEDES WORT aber den zusammenhabng habe habe ich sehr enorm schwierigkeit um alles  ( zusammenhang) zu vertshen, ich verbringe zu viel zeit, ich weiss nicht wie ich mein Vertändniss beschleunigen kann, jetzt für dien Antwort brauhe ich  viellieicht  1 Std (  4 bis 5 mal ) wiederholen  bis im Kopf fest.


ist das Foto ok oder klein?


 


  -   city1, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

warum sagst du(Also muss 


xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>">2 mindestens eine Nachkommastelle haben die nicht Null ist. ??)ok was it das problem wenn eine  Nachkommestelle   Nulle ist? 

  -   city1, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

für die seite 117, ich denke es ist klar die wurzel  aus 750 kann nicht abbrechnend sein, denn  wenn man die  Nullen weglässt ,bespiel 1,234500= 1,2345 dann beilebt hinter dem komma nur Ziffern zwischen 1 und 9 beim Quadrieren , kriegen wir niemals 750. Das verstehe ich schon

  -   city1, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Kein Problem. Zusammen bekommen wir das schon gelöst :)


Das wichtige an dieser Aussage ist, dass mindestens eine Nachkommastelle nicht Null ist. Es kann ruhig eine Nachkommastelle Null sein. Es können auch alle bis auch eine Null sein. Nur eine einzige muss mindestens ungleich Null sein.


Das liegt daran, dass nur natürliche Zahlen nur Nullen als Nachkommastelle haben. Da aber \( 1 < \sqrt{2} < 2 \) wissen wir, das \( \sqrt{2} \) keine natürliche Zahl ist und somit mindestens eine Nachkommastelle hat die ungleich Null ist.


Wenn ab einer bestimmten Nachkommastelle nur noch Nullen folgen, lassen wir diese weg.


Das heißt die letzte Nachkommastelle von \( \sqrt{2} \) muss ungleich Null sein. 
Die restlichen Nachkommastellen interessieren uns erstmal nicht.


Wenn wir nun wie im Beispiel auf Seite 117 die Zahl quadrieren, so kann die letzte Nachkommastelle wieder keine Null sein. Der Grund steht dort auf Seite 117.


Ist das erstmal soweit klar?

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

´ich vestehe was du schreibst, aber ich finde  noch keinen Beweis, das wurzel aus 2 nicht  abbrechende Zahl ist. wo ist der beweis?

  -   city1, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

für 117 ist klat aber für wurzel aus 2 nicht

  -   city1, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Es gibt für \( \sqrt{2} \) doch nur 3 Möglichkeiten.



  • Sie ist eine natürliche Zahl (nur Nullen als Nachkommastelle)

  • Sie ist ein abbrechender Dezimalbruch

  • Sie ist ein nichtabbrechender Dezimalbruch


Den ersten Fall können wir sofort ausschließen, da wir wissen das \( 1 < \sqrt{2} < 2 \)


Der zweite Fall wird dadurch ausgeschlossen, da sonst das Quadrat auf einer Zahl enden müsste, die nur Nullen als Nachkommastelle hat, da \( \sqrt{2}^2 = 2 \in \mathbb{N} \) gilt.
Und das dies nicht gilt haben wir ja oben bewiesen. Es bleibt also nur der dritte Fall.


 

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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