Potenzreihe


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Bestimmen Sie die x ∈ R fur die die Potenzreihen konvergieren. Wie sieht das Konvergenzver- ¨ halten der Reihen auf den R¨andern aus?

 

Das ist die Aufgabenstellung. Könnte mir jemand helfen und erklären wie ich das auf folgende Potenzreihe anwenden kann?

 

(1/n^2)*x^n

 

gefragt vor 6 Monate, 2 Wochen
A
AdamKelly,
Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Bei einer Potenzreihe mit x^n, Index n, kannst du das Wurzel oder Quotientenkriterium nutzen.

Damit bestimmst du den Grenzwert und bekommst sowas wie:

 zB:    2 * |x| ---------->  dies wird nun nach dem Konvergenzkriterium für Potenzreihen als:

2 * |x| < 1 geschrieben, weil beim WK / QK gilt, dass die Reihe Konvergiert, wenn der Grenzwert des Kriteriums < 1 ist.

 

2 * |x| < 1

ergibt: |x| < 1/2      Konvergenzradius ist also r= 0,5

 

Nun bestimmst du deinen Konvergenzbereich:

( p-r ; p+r)             p ist:  (1/n^2)* (x   -   p )  ^n , bei dir 0            p=0

----> (0-0,5 ; 0+0,5 )  ----->   (-0,5 ; 0,5)

 

Dann noch die Randwerte des Intervalls prüfen.

Du setzt 0,5 bzw -0,5 in  (1/n^2)*x^n für x ein und führst das Nullfolgenkriterium durch.

Ist es eine Nullfolge, so wir aus ( eine [

Sagen wir also -0,5 liegt im Konvergenzbereich und 0,5 nicht, dann sieht dein Konvergenzbereich wie folgt aus:

[ -0,5 ; 0,5 )

dieses Intervall gibt die Werte für x an für welche die Reihe konvergiert.

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
trixxter,
Student, Punkte: 1433
 

Wie kommst du auf die 2? Du schreibst ja bspw. 2 * |x| < 1. Hab mit dem Quotientenkriterium bestimmt, dass die Reihe konvergiert. Aber ich mehr als den Fakt, dass sie konvergiert weiß ich grad nicht.

  -   AdamKelly, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Die 2 war lediglich ein Beispielfaktor.


wenn du (1/n^2)*x^n mit dem QK zb löst:


|  [(1/(n+1)^2)*x^(n+1) ] / [ (1/n^2)*x^n ]  |  ----> Das muss ja gelöst werden mit n gegen unendlich (s. Definition Quotientenkriterium)


,dann kannst du 


[ (1/(n+1)^2) / (1/n^2) ] * | x | schreiben. 


dies kannst du nun weiterkürzen und n gegen unendlich laufen lassen.


[ (1/(n+1)^2) / (1/n^2) ]   n----> unendlich    1        (Der GW ist 1. Die 2 oben war nur ein Bsp)


 


Also: 1 * |x| < 1  ----> |x| < 1


Folglich: (-1;1)


Prüfen:


x= -1     (1/n^2)*(-1)^n     n gegen unendl.      ist Nullfolge


x= 1       (1/n^2)*1^n        n gegen unendl.       ist Nullfolge


 


Also: [ -1; 1 ]         


Fazit: Für alle Werte x Element von  [ -1; 1 ] konvergiert die Reihe.


 


 

  -   trixxter, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Das QK alleine kann bei Potenzreihen keine Aussage über die Konvergenz treffen, weil du den unbestimmten Wert x hast.


Du musst x erst bestimmen indem du die Bedingungen des QK nutzt um x Werte zu finden die deine Anforderungen erfüllen.

  -   trixxter, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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