Extremwertberechnung


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Kann mir jemand die Aufgabe lösen. Eine Wanne soll einen Umfang von 5m haben mit je 2 halbkreisen. Die breite ist y die Länge ist x und die Fläche soll maximal werden und Randbedingungen sollen aufgestellt werden 

 

 

gefragt vor 6 Monate, 2 Wochen
u
ultra1511,
Schüler, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

das schwierige ist hier wohl die richtigen Gleichungen aufzustellen.

Wir wollen die Fläche einer Wanne maximal werden lassen, wenn der Umfang 5m beträgt.

Wir müssen also eine Gleichung für die Fläche und eine für den Umfang aufstellen. Jetzt steht in der Aufgabe nicht, ob die Wanne in die Länge oder in die Breite gestreckt ist. Sagen wir mal in die Länge.

Der Umfang ergibt sich dann aus folgender Überlegung.

Wir haben zwei Halbkreise, also insgesamt einen kompletten Kreis mit dem Umfang \(U = 2\pi r \). Dazu kommt noch der Mittelteil der Wanne der die Form eines Rechtecks hat. Wir brauchen nur die längeren Außenseiten des Rechtecks für den Umfang. 
Wir haben schon gesagt, das unsere Wanne sich in x-Richtung erstreckt. Also ist unser y-Wert der Wanne gleich dem Durchmesser des Kreises. 
Um nun die Länge des Rechtecks zu bestimmen, müssen wir an jeder Seite den Radius abziehen, erhalten also eine Länge von \( x-2r \)

Wir erhalten also insgesamt einen Umfang von

\( U = 2 \pi r + 2(x - 2r) \) 

Mit \( r = \frac y 2 \)

\( U = 2 \pi \frac y 2 + 2(x- 2 \frac y 2 ) = ( \pi -1)y + 2x = 5 \)

Nun kommen wir zum Flächeninhalt. Wir haben die Fläche des Rechtecks und des Kreises, also

\( A = \pi r^2 + y(x-y) = \frac {\pi y^2} 4 + yx - y^2 = (\frac {\pi} 4 -1)y^2 + yx \)

Nun soll der Flächeninhalt maximal werden, also musst du die Gleichung des Umfangs nach x oder y umstellen und dann in die Gleichung für den Flächeninhalt einsetzen. 
Nun musst du noch den Hochpunkt der Funktion finden. 

Versuch es mal. Wenn es noch Fragen gibt melde dich.

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
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