Maximum-Likelihood-Schätzer


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Hey,

 

leider komme ich nicht auf die Ableitung bzw. auf die ln Umstellung. Oder vielleicht gehe ich auch gerade falsch ganz vor. Gesucht ist der Maximum-Likelihood-Schätzer von λ.

f(x)=λexp(-λx)  x>=0
        0              x<0

 

 

gefragt vor 6 Monate, 2 Wochen
k
kaioliver.s,
Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

was hast du den probiert? Du musst zuerst die Likelihood Funktion aufstellen über

\( L(\lambda \vert x) = \prod_{i}^n f(x_i) \)

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Hey, 


danke für die Antwort! Sorry für die späte Antwort, ich hatte ein kleines technisches Problem mit dem kommentieren.

Ich habe die Funktion gebildet

L(λ|x)xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>&#x03BB;</mi><mo fence="false" stretchy="false">|</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>&#x220F;</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>i</mi></mrow><mi>n</mi></munderover><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>">exp(-λx)
         =\(sum_{i=1}^n\)ln(xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>&#x03BB;</mi><mo fence="false" stretchy="false">|</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>&#x220F;</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>i</mi></mrow><mi>n</mi></munderover><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>">exp(-λx))


 Ab hier komme ich leider beim umstellen oder Ableiten nur auf Unsinn wie -λxxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>&#x03BB;</mi><mo fence="false" stretchy="false">|</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>&#x220F;</mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>i</mi></mrow><mi>n</mi></munderover><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>">exp(λx). Ich wäre super dankbar für einen Schubs in die richtige Richtung. :)

Danke und Grüße!


 edit: Formelcode richtig geschrieben


 

  -   kaioliver.s, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Hallo,


du bist etwas zu schnell mit dem Logarithmus.


Die Likelihood Funktion sieht erstmal folgendermaßen aus


\( \prod_i^n \lambda e^{- \lambda x_i} = \lambda ^n \prod_i^n e^{- \lambda x_i } = \lambda ^n \cdot e^{\sum_i^n - \lambda x_i} = \lambda ^n \cdot e^{-n \lambda \sum_i^n x_i} = \lambda ^n \cdot e^{-n \lambda \overline{x} } \)


Mit dem artihmetischen Mittel \( \overline{x} \)


Um nun das Extremum dieser Funktion zu bestimmen, greifen wir auf den log-likelihood zurück. Das dürfen wir, da der Logarithmus die Stelle des Extremums erhält ( also den x-Wert).


Wir wenden also den Logarithmus an und erhalten


\( \mathfrak{L} = \ln(L(\lambda \vert x )) = \ln ( \lambda ^n \cdot e^{-n \lambda \overline{x} } )  \\ = n \ln(\lambda) + \ln(e^{-n \lambda \overline{x} }) = n \ln (\lambda) - n \lambda \overline{x} \)


Diese Funktion leiten wir nun ab und setzen diese gleich Null


\( \frac {d \mathfrak{L}} {d \lambda} = \frac n {\lambda} - n \overline{x} = 0 \)


Du erhälst also 


\( \lambda = \frac 1 {\overline{x}} \)


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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