Kegelförmiges Sektglas füllen


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Hallo, die Aufgabe lautet: "Bis zu welcher Höhe muss man ein kegelförmiges Sektglas (Höhe ohne Stiel 8.8cm) füllen, wenn es halb voll sein soll". Ich überlege die ganze Zeit was das Ergebnis sein könnte, ich komme aber nicht drauf. Könnt ihr mir die Lösung aufzeigen und mir den Rechenweg erklären. Hat das eventuell was mit der V Formel zu tun?

 

gefragt vor 6 Monate, 2 Wochen
j
jamespie,
Punkte: 10
 

Ist noch Radius / Durchmesser gegeben?

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Nein nur die Höhe ist angegeben.

  -   jamespie, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,

ohne weitere Angaben, ist diese Aufgabe nicht eindeutig lösbar. Nur durch den Radius wissen wir, wie groß der Öffnungswinkel des Glases ist. 

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Hallo, mein Mathelehrer meinte es gibt verschiedene Varianten wie man diese Aufgabe lösen kann. Er meinte eine Variante wird mit dem Streckungsfaktor gelöst. 

  -   jamespie, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Ja tatsächlich stand ich einfach nur auf dem Schlauch. Mit den Strahlensätzen lässt es sich lösen.


Es gilt 


\( V_1 = \frac 1 3 \pi r_1^2 h_1 \ , \ V_2 = \frac 1 3 \pi r_2^2 h_2 \)


Nun gilt \( V_2 = \frac 1 2 V_1 \) 


Außerdem findet man durch die Strahlensätze den Zusammenhang


\( \frac {r_2} {r_1} = \frac {h_2} {h_1} \Rightarrow r_2 = r_1 \frac {h_2} {h_1} \)


Wenn wir das alles einsetzen und die Gleichungen gleichsetzt, erhält man


\(  r_1^2 h_1 =  2  r_2^2 h_2 \\ \Rightarrow r_1^2 h_1 = 2 (r_1 \frac {h_2} {h_1})^2 h_2  \\ \Rightarrow h_1^3 = 2 h_2^3  \\ \Rightarrow h_2 = \sqrt[3]{0,5} h_1 \)


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Kennst du noch andere Varianten, wie man die Aufgabe noch lösen kann?

  -   jamespie, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Du kannst auch direkt über den Streckungsfaktor gehen. Es gilt


\( \frac {V'} {V} = k^3 \\ \frac {\frac 1 2 V} V = \frac 1 2 = k^3 \\ k = \sqrt[3]{0,5} \)


In 1-D gilt


\( \frac {h'} {h} = k \\ h' = \sqrt[3]{0,5} h \)


Liefert also das selbe Ergebnis. Der Streckungsfaktor, ensteht durch die Strahlensätze, deshalb habe ich den Weg genommen, da ich ihn schöner finde. 


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Danke für deine Mühe 

  -   jamespie, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Sehr gerne.


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Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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