Beweisen Menge Teilkörper von C


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Hallo,

ich verstehe nicht, wie man hier an den Beweis kommen könnte. Ich würde schätzen, wenn jemand helfen könnte

Beweisen Sie, dass


Q[ √ 59] = {r1 + r2 √ 59|r1, r2 ∈ Q}


mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Teilkörper von C ist! Achten Sie auf genaue und ausführliche Argumentation!

 

gefragt vor 6 Monate, 2 Wochen
d
danikiso,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

zeige zuerst das \( \mathbb{Q}[\sqrt{59}] \subset \mathbb{C} \). Da \( r_1 , r_2 \in \mathbb{Q} \) liegt, musst du nur zeigen, dass \( \sqrt{59} \in \mathbb{C} \) gilt. 

Dann musst du noch zeigen, dass \( (\mathbb{Q}[\sqrt{59}], + , *) \) ein Körper ist. 

Grüße Christian

 

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Hallo!


Vielen Dank!


Kannst du vielleicht noch erklären, was der Ausdruck Q[√59] bedeutet und das r1 und r2 in diesem Zusammenhang ausdrucken?


Danila

  -   danikiso, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

\( r_1 \) und \( r_2 \) sind beide aus den rationalen Zahlen. \( \sqrt{59} \) ist eine irrationale Zahl, da jede Wurzel einer Primzahl irrational ist. 


Nun hast du hier ein ähnliches Konstrukt wie bei der Konstruktion der komplexen Zahlen. Nämlich zwei Zahlen aus einem Grundkörper (bei dir \( \mathbb{Q} \) und bei den komplexen Zahlen \( \mathbb{R} \)) und eine zusätzliche Zahl, die nicht aus dem Grundkörper ist ( bei dir \( \sqrt{59} \) bei den komplexen Zahlen \( i = \sqrt{-1} \)). 


Nun schau dir mal die Definiton der komplexen Zahlen an und vergleiche das ganze mal.


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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