Tangente am Kreis


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Kann mir wer ein Beispiel zu einer Tangente nennen? Also wenn die Kreisgleichung (x-1)^2+(y-2)^2 ist,  wie müsste die Geradengleichung zur Tangente sein, die man dann ja für y einsetzt?

 

gefragt vor 7 Monate, 2 Wochen
m
mmichellel,
Schüler, Punkte: 45
 

Das ist keine Gleichung.

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 7 Monate, 2 Wochen

Zumal man unendlich viele Tangenten an einen Kreis anlegen kann.


Da würde dann auch noch eine Information, wie etwa ein Punkt, fehlen. Selbst dann wären noch zwei Tangentengleichungen möglich.

  -   mcbonnes, kommentiert vor 7 Monate, 2 Wochen

Wieso wären, wenn ein Punkt P(x|f(x)) gegeben ist, noch 2 Tang.gl. möglich?   -   thenormman, kommentiert vor 6 Monate, 3 Wochen

Die Antwort bezog sich möglicherweise auf einen Punkt außerhalb des eigentlichen Kreis auf einem Thaleskreis. Dieser erzeugt zwei Tangenten am Ausgangskreis.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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2 Antworten
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Hallo mmichellel,

was ist denn das für eine »Kreisgleichung«? Also, entweder Du willst den Flächeninhalt eines Kreises berechnen, dann geht das über \(A=\pi\cdot r^2\). Oder Du möchtest den Umfang eines Kreises berechnen. Dann hast Du \(U=2r\cdot \pi\). Sobald Du mit Kreisen, Ellipsen, Kugeln und ähnlichen Dingen zu tun hast, spielt immer \(\pi\) eine Rolle.

Was Du da hast, ist ein quadratischer Term mit zwei Variablen.

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis genau an einem Punkt des Kreises berührt. Da ein Kreis unentlich viele Punkte hat, gibt es auch unendlich viele Tangenten.


Wenn Du die Gleichung der Tangente bestimmen willst, dann musst Du mindestens wissen, welchen Punkt des Kreises sie nun berühren soll. Sowohl zur Bestimmung der Geradengleichung der Tangente nach dem Schema \(y=bx+a\) als auch zur Bestimmung der Lage des Punktes, also so etwas wie \(P(x;y)\), brauchst Du ein Koordinatensystem.

Ohne weitere Informationen dürfte es nicht möglich sein, weiteres dazu zu sagen.

Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 4 Monate
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1200
 
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Hallo alle zusammen,


ich muss mich, was meine Antwort auf mmichellel betrifft, korrigieren. Er hat schon so etwas ähnliches wie eine Kreisgleichung angegeben, allerdings fehlt die linke Seite der Gleichung. Wie hier:


http://rechen-fuchs.de/kreisgleichung/">http://rechen-fuchs.de/kreisgleichung/


oder auch hier:


https://youtu.be/GcJ06tSTDCI">https://youtu.be/GcJ06tSTDCI


zu sehen ist, hat eine Kreisgleichung die allgemeine Form in Formel (1), wenn der Mittelpunkt des Kreises mit \(P(x_{m}|y_{m})\) definiert ist.


$$r^{2}=(x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2} \tag{1}$$


Um die Frage von mmichellel beantworten zu können, fehlt also \(r^{2}\). An dieser Stelle setze ich jetzt einfach mal den Radius des Kreises gleich 3. Das Ergebnis ist Gleichung (2).


$$9=(x-1)^{2}+(y-2)^{2} \tag{2}$$


Das definiert einen Kreis mit dem Mittelpunkt \(P(1|2)\) und dem Radius \(r=3\). Die Aufgabenstellung ist jetzt, die Gleichung irgendeiner Tangente dieses Kreises zu finden. Da ist es angebracht, sich das Leben einfach zu machen. Wenn vom Mittelpunkt \(P(1|2)\) der Radius exakt parallel zur x-Achse in positiver Richtung (steigende x-Werte) abgetragen wird, dann definiert das den Punkt \(P(4|2)\). Wenn durch diesen Punkt im Winkel von 90° zum Radius eine Gerade gelegt wird, dann ist diese Gerade eine Parallele zur y-Achse mit dem x-Achenabschnitt 4. Diese Gerade hat also die Gleichung \(x=4\). Sie ist eine Tangente des Kreises, der in Gleichung (2) definiert ist und berührt diesen Kreis exakt am Punkt \(P(4|2)\) (siehe Abbildung 1).


Abbildung 1: Tangente am Kreis



 


Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 3 Monate
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1200
 

Eine Anmerkung noch, die durch eine gewisse Formulierung des Fragestellers motiviert ist. mmichellel schreibt nämlich etwas davon, die Geradengleichung für die Tangente »für y« in die Kreisgleichung einsetzen zu wollen.

Das riecht förmlich danach, dass die eigentliche Aufgabenstellung wohl nicht so ist, wie gepostet, sondern umgekehrt:

Es gibt eine Kreisgleichung der Form \(r^{2}=(x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}\), die bekannt ist, und eine Geradengleichung der Form \(y=bx+a\), wobei \(b\) die Steigung und \(a\) der y-Achsenabschnitt ist, die auch bekannt ist.

Jetzt kann durch einsetzen von \(bx+a\) für \(y\) in der Kreisgleichung und auflösen derselben nach \(x\) herausgefunden werden, ob die Gerade eine Sekante (zwei Lösungen für \(x\)), eine Tangente (eine Lösung für \(x\)) oder eine Passante (keine Lösung für \(x\)) ist.

Das Prinzip wird von Daniel Jung in diesem Video erklärt:
https://youtu.be/kw-nbQ0Bv6s

Viele Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 3 Monate
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