Integral mit Wurzel


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 Hallo Zusammen,

ich bin gerade auf dem Weg in ein berufsbegleitendes Studium und bräuchte Hilfe bei für mich schon recht komplexen Integralen auf Anfängerniveau.

Kann mir jemand folgendes Integralbilden, mit ausführlicher Angabe der Zwischenschritte und Regeln? Irgendwie macht mir die Wurzel und und die Substitution noch Probleme...

VielenDank im Voraus

\(intx*\sqrt{x-1}\)

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
t
theFlo,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 10
 

Du meinst \(\displaystyle\int x\cdot \sqrt{x-1}\,dx\)?

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Ja genau!

  -   theFlo, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hier ist es am wahrscheinlich am Günstigsten das Integral durch Substitution zu vereinfachen. (Das ist eigentlich oft ein heißer Tipp, wenn du Wurzeln mit komplizierterer Basis integrieren musst.)

Wir substituieren \( u=x-1 \) bzw. \(x=u+1 \). Dadurch folgt angenehmer Weise durch Ableiten \( du=dx \). 

Setzen wir all das in das Integral ein, folgt:

\( \int (u+1) \sqrt{u} \text{  d}u \)

Multipliziert man das ein wenig aus und schmeißt ein paar Potenzgesetze in die Runde erkennt man, dass diese Form deutlich angenehmer ist:

\( \int u^{\frac{3}{2}}+u^{\frac{1}{2}} \text{  d}u \)

Das kannst du wahrscheinlich integrieren; einfach die Summanden einzeln. Dann rücksubstituieren und tadaaa :)

Solltest du eine Stelle nicht nachvollziehen können oder hier noch nicht weiter kommen frag bitte noch einmal nach!

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
jojoliese,
Student, Punkte: 537
 

Also mir ist das substituieren von u = x-1 und v = x+1 noch irgendwie schleierhaft, sowie der Schritt von (u+1) nach \(u^\frac{3}{2}\)

  -   theFlo, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Okay, also die Substitution war, dass ich \(x+1\) erstmal durch u ersetze. Ich habe das nur nochmal umgestellt hingeschrieben, also \( x=u-1\), weil wir auch das brauchen um nicht nur die Basis unter der Wurzel zu ersetzen, sondern auch das andere \(x \) durch \( u \) auszudrücken. Das Differential ersetzen wir dann auch \(dx = du \).


Dann haben wir ein Integral, wo wir diese lästige komplizierte Wurzel vereinfacht haben und alles durch \( u \) ausgedrückt ist.


\( \int (u+1) \sqrt{u} \text{  d}u \)


Ausklammern:


\( \int u \cdot \sqrt{u} + sqrt{u} \text{  d}u \)


Wurzeln als Potenzen darstellen:


\( \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}}  \text{  d}u \)


Potenzgesetz (Multiplikation von Potenzen gleicher Basis)


\( \int u^{1+\frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}}  \text{  d}u \)


\( \int u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}}  \text{  d}u \)

  -   jojoliese, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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