Wegintegral über Kreis


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Guten Abend,

 

ich habe noch kleine Probleme bei einem Wegintegral. Zwar habe ich das Richtige raus, kann allerdings noch nicht verstehen warum ich etwas so machen kann bzw. wie ich das formell richtig aufschreibe:

 

Berechnen sie für das Feld \(F(r) = F_{0} = const. \) das Wegintegral über einen Kreis mit dem Radius R und dem Mittelpunkt r=(0,0,0).

\( \gamma = (R*cos(\phi), R*sin( \phi )) \) . Die Ableitung führt zu \( -R*sin(\phi), R*cos( \phi ) \) .

\( \int_0^{2\pi} F_{0} * \gamma(Punkt) d\phi \).  

\( r= \sqrt{x^2+y^2} \)

Am Ende integriert führt das bei mir zu \( W = 2 \pi R F_{0} \)

 

Nun schreiben alle Lösungen, dass man hier dann für x und y die Werte von der Ableitung nehmen muss. Warum die Ableitung? 

Die Umwandlung von kartesisch zu zylindrischen Koordinaten führt man ja immer entlang der Formel durch. Warum muss man das \( \gamma \) noch zu einem einfachen r umrechnen ? 

Also meine Lösung ist ja richtig, aber ich verstehe einfach noch nicht die Zusammenhänge zwischen \( \gamma \) , der Ableitung, der Transformation und der jeweiligen Bedeutung für mein Wegintegral...

Kann mir da jemand irgendwie helfen, dass Ganze vielleicht zu verstehen?

 

Liebe Grüße aus NRW

Leonhard

 

gefragt vor 6 Monate, 1 Woche
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leonhard,
Schüler, Punkte: 20
 
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1 Antwort
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Hallo,

\( \gamma \) beschreit die Kurve ( bei uns der Kreis). Die Ableitung unserer Kurve entspricht dem Tangentialvektor.

Wenn wir nun unsere Kurve parametriesieren, so kannst du dir vorstellen, dass \( \gamma '(t) \) einmal die Kurve "abfährt".

Die Transformation von Koordinaten, ist eine Verallgemeinerung der Substitution die wir bereits aus der Schule kennen. 
Als Beispiel

\( \int \ln(2x+3) dx \)

Nun substituieren wir \( u = 2x+3 \) und müssen dafür \( du \) bestimmen über

\( \frac {du} {dx} = 2 \\ \Rightarrow dx = \frac {du} 2 \\ \Rightarrow \int \ln(u) \frac {du} 2 \).

Aus dieser Überlegung erhalten wir ein zusätzliches \(r \), wenn wir von normalen Koordinaten in Zylinderkoordinaten transformieren. Das ganze wird falls es dich interessiert, über die Determinante der Funktionalmatrix berechnet.

Aber du brauchst doch hier keine Transformation in Zylinderkoordinaten, da du doch das Wegintegral über die Kurve \( \gamma \) bestimmen willst.

Habe ich deine Fragen richtig verstanden? Ansonsten frage gerne nochmal nach.

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
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