Verlauf der Logarithmusfunktion


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Gegeben ist die Funktion

 

f(x) = ln ((x+1)/(3-x))

Gesucht: Nachweis das gilt f(1+a) = -f(1-a) für alle a ∈ R bzw |a|<2

Welche Folgerung lässt sich über den Verlauf ziehen?

 

 

Betrifft Aufgabe

Abschlussprüfungen an Fachoberschulen (1999) (Bayern) - Analysis AI

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
n
niklas_fcn,
Punkte: 0
 
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1 Antwort
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Hallo,

es soll gezeigt werden, dass \(\ln\left (\dfrac{a+2}{2-a} \right )=-\ln \left (\dfrac{2-a}{a+2} \right)\) für \(\{x \in \mathbb{R}|-2 < a < 2\}\) gilt. Es bietet sich an, die Logarithmen auf eine Seite zu setzen:

\(\ln\left (\dfrac{a+2}{2-a} \right ) +\ln \left (\dfrac{2-a}{a+2} \right)=0\)

Nun wenden wir die Log.-Regel \(\log_b(x)+\log_b(y)=\log_b(xy)\) an:

\(\ln\left (\dfrac{a+2}{2-a} \cdot \dfrac{2-a}{a+2}\right ) =0\)

Ferner gilt die Regel \(a=\log_b(b^a)\). Somit gilt für 0: \(0=\ln(e^0)=\ln(1)\).

\(\ln\left (\dfrac{a+2}{2-a} \cdot \dfrac{2-a}{a+2}\right ) =\ln(1)\)

Da beide Seiten die gleiche Log-Basis besitzen, können wir diesen entfernen:

\(\dfrac{a+2}{2-a} \cdot \dfrac{2-a}{a+2} =1\)


Der Rest sollte nun trivial sein.

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 9746
 

Hallo, vielen Dank für die ausführliche Beantwortung der Frage.


 


Aber was sagt dies über den Verlauf des Graphen aus?


 

  -   niklas_fcn, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Bezieht sich die Frage auf \(f(x)\)?


Die Funktion ist nur für \(-1<x<3\) definiert, da das Argument des \(\ln\) nie \(\leq 0\) werden darf. 

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Ja. 


Ja das ist mir bewusst.


Aber was kann ich aus f(1+a) = -f(1-a) für den Graphen f(x) folgern?

  -   niklas_fcn, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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