Stetigkeit


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Kann mir jemand die Definition von Stetigkeit hier erklären? Warum sollte lim h-->0 f(x+h) nicht existieren? Und wie untersucht man, ob eine Funktion stetig ist oder nicht? Kann man nur abschnittsweise definierte Funktionen auf Stetigkeit untersuchen oder auch normale ganzrationale Funktionen?

Und warum ist der linksseitige Grenzwert f(x+h)? Die Definition macht für mich irgendiwie keinen Sinn bzw. ich verstehe den Sinn dahinter nicht, da ich auch keine Beispielaufgabe habe.

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
s
sv,
Punkte: 50
 
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1 Antwort
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Hallo,

zur ersten Frage: beim Grenzwertbegriff geht es darum eine Umgebung an der zu untersuchenden Stelle zu betrachten, mit anderen Worten betrachtet man die Umgebung (x-h;x+h) (ein "wenig unter dem x" und ein "wenig über dem x").

Für Stetigkeit musst du nachweisen das so ein Grenzwert existiert, ich finde aber die Notation aus deinem Skript etwas unpraktisch, ich denke klarer wird es wenn man das so notiert:

\( \lim_{x \rightarrow x_0 } f(x) = f(x_0) \)

Bei stückweise definierten Funktionen würde man dann konkret die Übergangsstellen betrachten und den Grenzwert untersuchen (von links und rechts). Vielleicht hilft folgendes Beispiel:

https://de.serlo.org/mathe/funktionen/uebersicht-aller-artikel-zu-funktionen/stetigkeit-nachweisen

Grüße,

h

 

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
wirkungsquantum,
Student, Punkte: 2020
 

 





Also theoretisch setzt man einfach die zu untersuchende x-Stelle in die Funktion ein und guckt, ob die beide abschnitssweise definierte Fuktionen an dieser Stelle gleich sind? 


Wie macht man das bei normale ganzrationale Funktionen? Oder wird sowas wie: "Untersuchen Sie ob, diie Funktion x^3-x^2+5 (evtl. an einer beliebigen Stelle x) stetig ist."


  -   sv, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Sozuasgen. Aber erstmal muss man schauen ob der Grenzwert existiert (also nicht unendlich wird o.ä.).


Entweder man zeigt (per Induktion und den Grenzwertsätzen), das Polynome stetig sind, weil \(f(x)=x\ und f(x)=c, c\in \IR\) stetig ist oder man nutzt das Epsilon-Delta Kriterium:


https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Epsilon-Delta-Kriterium_der_Stetigkeit">https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Epsilon-Delta-Kriterium_der_Stetigkeit

  -   wirkungsquantum, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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