Konvergenz von Fourierreihen


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hallo, habe heute auch mal eine frage, sie ist relativ speziell und aus der uni, aber vielleicht findet sich ja ein experte.

also es geht um fourier-reihen, speziell um deren konvergenz und einen satz von dini.

hierbei gilt es folgendes zu zeigen:
\( s_n(f;x)-\tilde{f}(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac{\tilde{f}(x-t)- \tilde{f}(x)}{\sin(\frac{t}{2})}\sin((2n+1)\frac{t}{2})dt \)

wobei \( \tilde{f}(x)=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-ikx}dx \)

\( s_n(f;x)= \frac{1}{2\pi } \int\limits_{-\pi}^{\pi}d_n(x-t)f(t)dt \)

\( d_n(s)=\frac{\sin((2n+1)\frac{s}{2})}{\sin \frac{s}{2}} \)

sollte sich jemand in diesem bereich auskenne, würde ich mich sehr über einen kommentar freuen. vielleicht kommen wir ja gemeinsam an eine lösung.

Nach dem Einsetzen der Definitionen erhalte ich also folgendes:

 

\( s_n(f;x)-\tilde{f}(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t) \frac{\sin((2n+1)\frac{x-t}{2})}{\sin(\frac{x-t}{2})}dt- \tilde{f}(x) \)

 

test

 

gefragt vor 7 Monate
i
ikeek, verified
Lehrer/Professor, Punkte: 780
 
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1 Antwort
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Hallo,


als Experte will ich mich nicht bezeichnen aber vielleicht bekommen wir es zusammen gelöst. 


Was soll hier genau bestimmt werden? Geht es um den Abstand vom Grenzwert der Fourier Reihe und der Transformation? Oder soll der Abstand zwischen dem Grenzwert der Reihe und der Funktion bestimmt werden?


Stimmt die Gleichung für \( \tilde{f}(x) \)? Denn wenn es um die Fourier Transformation gilt dann dürfte die zu integrierende Variable ja nicht die selbe sein, wie die Variable der transformierten.


Dann würden sich die Integrale vermutlich zusammenfassen lassen.


Ansonsten fällt mir noch auf, das die Lösung auch folgendermaßen geschrieben werden kann


\( s_n(f;x) - \tilde{f}(x) = \frac 1 {2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) d_n(x-t) dt - \tilde{f}(x) \)


Wir müssen also eventuell noch eine substitution machen mit \( t \to x-t \) 


Grüße Christian 

geantwortet vor 7 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16463
 

Test   -   ikeek, verified kommentiert vor 7 Monate

Hallo Christian, danke für deine Antwort, leider funktioniert auf dieser Platform das antworten mit dem iPad sehr sehr schlecht bisher, ich versuche es trotzdem
Also die Idee mit der Substitution hatte ich auch schon, mein Problem ist aber das f-Schlange mit ins integral und vor allem auf den Bruch zu bekommen.

Ziel ist es später das integral in 2 teile aufzuteilen, die dann nach Riemann Lebesgue gegen 0 konvergieren und man damit sagen kann das die partilsummen sn gegen f-Schlange konvergieren
  -   ikeek, verified kommentiert vor 7 Monate

Ja habe dem Support schon bescheid gegeben. Er ist gerade dran das Problem zu beheben.

Ich habe nochmal etwas recherchiert. Bei \( d_n(x) \) handelt es sich um den Dirichlet- Kern oder?
Er ist definiert über

\( \int_0^{2\pi} d_n(x) dx = 2 \pi \\ \Rightarrow \frac 1 {2 \pi} \int_0^{2\pi} d_n(x) dx = 1 \)

Dadurch lässt sich deine Differenz folgendermaßen schreiben.

\( s_n(f;x) - \tilde{f}(x) = \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(x-t)f(t)dt - \frac {\tilde{f}(x)} {2 \pi } \int_0^{2\pi} d_n(t) dt \\ = \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(x-t)f(t)dt - \frac {\tilde{f}(x)} {2 \pi } \int_{- \pi}^{\pi} d_n(t) dt \)

Nun lassen sich die Integrale zusammenfassen zu

\( \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(x-t)f(t)dt - \frac {\tilde{f}(x)} {2 \pi } \int_{- \pi}^{\pi} d_n(t) dt \\ = \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(t)f(t-x)dt - \frac {\tilde{f}(x)} {2 \pi } \int_{- \pi}^{\pi} d_n(t) dt \\ = \frac{1}{2\pi } \int_{-\pi}^{\pi}d_n(t) [ f(t-x) - \tilde{f}(x) ] dt \)

Wenn nun \( \tilde{f}(t-x) = f(t-x) \) gelte wäre die Gleichung bewiesen. Was meinst du dazu?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate

Hey, ja das sieht soweit doch schon gut aus, dirichlet Kerne stimmt soweit, aber warum ist das Integral von 0 bis 2pi gleich dem integral von -pi bis pi?   -   ikeek, verified kommentiert vor 7 Monate

Weil die Funktion \( 2\pi \)-periodisch ist. Wir integrieren ja über die gesamte Periode. Also ist es ja egal wo wir ansetzen, wir berechnen den kompletten Flächeninhalt einer Periode, oder?   -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate

Ja, sehr gut! Ich schreibe mir das Ganze heute Abend mal auf und frage dann hier weiter. Vielen vielen Dank soweit!   -   ikeek, verified kommentiert vor 7 Monate

Sehr gerne :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate

Leider kann man auf seine eigenen Fragen nicht antworten sondern nur kommentieren, deshalb kann ich keine Fotos anhängen, habe das Ganze aber hier verlinkt.
https://imgur.com/Elx1L0q


Wenn ich dort die markierte Gleichung mit dem gleichen Trick mit der 1 herleiten will, bekomme ich Probleme mit den Grenzen von -pi bis 0 bzw 0 bis pi, wahrscheinlich muss man dort noch irgendetwas ausnutzen was ich gerade nicht sehe..
  -   ikeek, verified kommentiert vor 7 Monate

https://imgur.com/a/vBfOwTv   -   ikeek, verified kommentiert vor 7 Monate
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