Fourierkoeffizienten finden für die Betragsfunktion


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Guten Abend

Wie ist das genau gemeint bei dieser Aufgabe die Koeffizienten genau für diese Funktion zu finden ? Ist das korrekt so wie ich das ganz unten aufgestellt habe für den einten Koeffizienten, hier b genannt zu finden?

 

Hier ist das in der Aufgabe erwähnte Beispiel:

Vielen Dank :)

LG Wizz

gefragt vor 1 Woche, 1 Tag
w
wizzlah,
Student, 176
 
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3 Antworten
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Hmm, iwie kann ich keine Kommentare hinzufügen. Deshalb als Antwort:

 

Ich sehe nicht ganz, wo dein Problem ist bzw. von welchem "einten" Koeffizient du sprichst.

 

Generell sollst du wohl nur die Koeffizienten selbst bestimmen, die in 3.2.4 (?) angeben sind und auf Richtigkeit überprüfen. Dabei fällt \(b_{k}\) aus, da wir eine gerade Funktion vorliegen haben.

Bestimme also \(a_{0}\), wie auch \(a_{k}\). Klappt das? Sonst frag nochmals nach ;).

geantwortet vor 1 Woche, 1 Tag
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orthando,
Student, 195
 
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Hallo,

Fourierreihen, lassen sich darstellen in der Form

\( f(x) = \frac {a_0} 2 + \sum_k^n (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) \)

Also hat jede Funktion eine "eigene" Fourierreihen Darstellung.

Aber wurden so wirklich bei euch die Fourier Koeffizienten definiert? Da \( f(x) = \vert x \vert \) hättest du dann \( f(x) = g(x) \), für \( a_k \)

Ich kenne folgende Definition der Koeffizienten

\( a_k = \frac 1 {\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(kx) dx \\ b_k = \frac 1 {\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(kx) dx \)

Für \( b_k \) stimmt es, für \( a_k \) gucke bitte nochmal in dein Skript.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 1 Tag
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 10518
 

Hallo


Vielen Dank erstmal für eure Antworten.


Ich habe mir das nochmals angeschaut und es sind tatsächlich die von Christian erwähnten Definitionen. Im Skript ist die Definition die Gleiche ich weiss nicht wieso ich das gestern nicht gesehen hatte. Sorry dafür!


Bezüglich dem "einten" Koeffizienten : Damit wollte ich nur andeuten, dass ich weiss, dass schlussendlich zwei berechnet werden müssen.


Da ich jetzt die Definition habe ist mir der Rechenweg nun klarer ich werde es heute Abend nochmals probieren und mich entsprechend melden, sollte ich nicht weiterkommen.


Es ist ja eigentlich "nur" eine Integralrechnung mit der Betragsfunktion und einer trigon. Funktion ich denke das sollte ich hinbekommen, sollte sich nicht wieder ein kleiner Vorzeichenfehler einschleichen :-)


LG 


Wizz

  -   Wizzlah, kommentiert vor 1 Woche, 1 Tag

Kein Problem. :)


Ich gucke gerne nochmal drüber. 


Grüße Christian

  -   Christianteam, kommentiert vor 1 Woche, 1 Tag

Also bei den ganzen Rechnereien ist mir sicherlich irgendwo ein Vorzeichenfehler unterlaufen, was ich natürlich nicht hoffe :)


Dennoch würde ich gerne noch auf dein Angebot eingehen : Ich kriege es nicht hin b(k) zu berechnen, da mir das k*Pi irgendwie im Weg steht. Beim a(k) ging das schön auf, sofern ich nichts falsch gemacht habe.


Hier mal meine "Lösungen":




Zudem weiss ich nicht genau wie ich das hier zeigen soll :


 



LG Wizz


 

  -   Wizzlah, kommentiert vor 1 Woche

Beim ersten Integral ist dir beim zusammenfassen ein kleiner Fehler unterlaufen


\( \frac 1 {k^2} (-kx \sin(kx) - \cos(kx) ) \vert_{- \pi} ^0 \\ = \frac 1 {k^2} (0 - \cos(0) - k (-\pi ) \sin(-k \pi) + \cos(-k \pi) \\ = \frac 1 {k^2} ( -1 -0 + (-1)^k) = \frac {-1+(-1)^k} {k^2} \) 


Beim zweiten Integral hast du es richtig gemacht. 


Du kommst also insgesammt auf


\( a_k = \frac 1 {\pi k^2} (-1 + (-1)^k + (-1)^k -1 ) = \frac { 2((-1)^k  -1)} { \pi k^2} \)


Bei dem ersten Integral von \( b_k \) fehlt ein Minus ;) Es ist


\( -k(-\pi) \cos(-k \pi) \)


Man erhält also


\(  \frac {k \pi \cos(-k  \pi)} { k^2} \)


Das zweite Integral ergibt


\( \frac {-k \pi \cos(k \pi) } {k^2} \)


Wenn du das wie bei \( a_k \) zusammenfasst erhälst du?


Damit ist es dann auch schon ersichtlicher wie du auf die zu zeigende Gleichung kommst.


Du musst noch \( a_0 \) bestimmen. Weißt du wie?


Und dann alles in meine erste Gleichung einsetzen.


Grüße Christian

  -   Christianteam, kommentiert vor 1 Woche

Vielen Dank ich bin jetzt viel weiter gekommen aber ich sehe trotzdem noch nciht ganz wie ich auf den Term kommen soll. Ich habe versucht für a0 einfach 0 einzusetzen für k aber wie man ja bei dem Term von a sieht steht k² im Nenner, somit würde man folglich durch Null teilen was ja nicht funktioniert.

Wenn ich die Integrale für b zusammengefasst habe bin ich auf 0 gekommen, stimmt das?

Vielen Dank für deine weitere Unterstützung

LG

Wizz
  -   Wizzlah, kommentiert vor 1 Woche
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Ich schreibe mal hier weiter. Es gibt momentan ein paar Probleme mit der Kommentarfunktion und so finde ich es anschaulicher:

Es gilt 

\( a_0 = \frac 1 {\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \)

Genau du erhälst \( b_k =0 \).

Als Tipp für die zu zeigende Gleichung. 

Es gilt \( a_k = \frac {2((-1)^k -1)} {\pi k^2} \)

Bestimme mal ein paar Werte davon. Dir wird eine weitere Regelmäßigkeit auffallen. Dadurch werden viele Koeffizienten wegfallen. Welche sind das? 

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 10518
 

Wie kommst du denn genau auf den Audruck für a0? Wenn man den Allgemeinen Term ak anschaut, dann sieht man ja, dass k im Nenner ist und, dass k = 0 gar nicht eingesetzt werden kann, weil es ja im Nenner steht?

Grüße
Wizz
  -   Wizzlah, kommentiert vor 1 Woche

Wir bestimmen mit der Reihendarstellung

\( \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = a_0 \pi + \sum_{n=0}^{\infty} a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) dx + \sum_{n=0}^{\infty} b_k \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) dx = a_0 \pi \)

Die beiden rechten Integralle ergeben Null, daher fallen sie weg und man erhält nach umstellen die Gleichung für \( a_0 \)
  -   Christianteam, kommentiert vor 1 Woche

Sry ich bin mir noch immer sehr unsicher bei der Aufgabe. Ich habe nochmals den Skript durchgeschaut und finde keine Formel, welche die Reihe so beschreibt. Und das Resultat ist dann folglich a0*pi? Und ich sehe noch immer nicht den Zusammenhang zum eigentlichen Term, welchen ich eigentlich bekommen sollte. Sorry ich blick bei dieser Aufgabe echt nicht durch ich kann auch nicht nachvollziehen, weshalb unsere Professorin uns eine solche Aufgabe gibt....

Nach jetzt denn bald 8 Stunden Mathe lässt aber auch das Gehirn langsam nach ... :-)
  -   Wizzlah, kommentiert vor 1 Woche

Nicht verzagen wir haben es fast geschafft.
Das was ich da über \( a_0 \) geschrieben habe ist nur die Herleitung des Koeffizienten.Um eine Funktion als Fourierreihe darzustellen, brauchen wir 3 Fourierkoeffizienten. Und zwar \( a_0 , a_k \) und \( b_k \) . Dann können wir die Funktion folgendermaßen darstellen.
\( f(x) = \frac {a_0} 2 + \sum_k^{\infty} (a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)) \)

Nun haben wir bereits \( a_k \) und \(b_k \) berechnet. Also fehlt noch \( a_0 \)
Berechne doch mal das Integral. Du wirst als Lösung \( \pi \) erhalten. Geteilt durch zwei, ist das der erste Summand deiner zuzeigenden Gleichung.
Dann ist \( b_k = 0 \), also kommen wir schon auf
\( f(x) = \frac {\pi} 2 + \sum_{n=1}^{\infty} a_k \cos(nx) \)

Setz doch mal \(a_k \) ein und setze mal ein paar Werte für k ein. Was fällt dir auf?
  -   Christianteam, kommentiert vor 1 Woche

Ich sehe auch gerade, das in deiner zu zeigenden Gleichung ein Fehler ist. Es muss

\( f(x) = \frac {\pi} 2 - \frac 4 {\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\cos((2n-1)x)} {(2k-1)^2} \)

Ohne das \(x \) funktioniert es nicht.
  -   Christianteam, kommentiert vor 1 Woche

Alles klar also das habe ich nun verstanden mit den Koeffizienten und der Reihendarstellung, jedoch gelingt es mir noch immer nicht das Integral zu berechnen..
Wie kommt man auf pi? f(x) ist ja |x| und das soll gleich a0*pi sein. Wenn ich aber |x| integrier innerhalb der Grenzen, dann komme ich irgendwie auf x² bzw. Pi².
  -   Wizzlah, kommentiert vor 1 Woche

Ja das Integral ergibt \( \pi ^2 \) und durch den Vorfaktor \( \frac 1 {\pi} \) erhälst du \( \pi\).

Nun zu \( a_k \). Was ergibt denn \( a_1 , a_2 , a_3 \) und \(a_4 \)?
  -   Christianteam, kommentiert vor 1 Woche

Vielen Dank ich bin jetzt wirklich kurz davor aber es gelingt mir noch immer nicht auf den Term zu kommen, welcher oben steht. Ich setze mein berechnetes ak ein und erhalte aber was anderes und habe keinen Vorfaktor 4/Pi vor dem Summenzeichen, sondern nur 1/pi...   -   Wizzlah, kommentiert vor 6 Tage, 23 Stunden

Sorry, wenn das gerade so lange dauert bis es Klick macht. Ich bin dir auf jeden Fall sehr(!!) dankbar, dass du dir jedes mal die Zeit nimmst mir zu helfen ;-)   -   Wizzlah, kommentiert vor 6 Tage, 23 Stunden

Deshalb sollst du ja die Koeffizienten explizit berechnen. Ich sag ja das du dann eine Regelmäßigkeit sehen wirst.
\( a_1 = \frac {2((-1)^1 -1)} {\pi 1^2} = \frac {-4} {\pi} \)
erkennst du diesen Term?
\( a_2 = \frac {2((-1)^2 -1)} {\pi 2^2} = 0 \ldots \)

Was können wir daraus für eine Schlussfolgerung ziehen? Berechne dafür am besten noch zwei weitere.
  -   Christianteam, kommentiert vor 6 Tage, 23 Stunden

Ahhh endlich hab ichs..... wow ich kanns nicht glauben, jetzt ergibt es auch sinn und man kann die Reihe so wie in dem Skript beschreiben. Tausend Dank!!   -   Wizzlah, kommentiert vor 6 Tage, 22 Stunden

Sehr gerne. :)   -   Christianteam, kommentiert vor 6 Tage, 18 Stunden
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