Integralrechnung - Fläche die von Koordinatenachsen eingeschlossen ist


0

"Bestimmen Sie den Inhalt A1 des "krummlingen Dreiecks", das im 1. Quatranten von den Koodinatenachsen und dem Graphen der Funktion f bergenzt wird. Berechnen Sie außerdem den Inhalt A2 der gesamten Fläche, die im ersten Quatranten vom Graphen der Funktion f und den Koordinatenachsen und im vierten Quatranten vom Graphen der Funktion f, der x-Achse und der senkrechten Geraden x=2 bergenzt wird"

 

Die Funktion lautet f(x)= x^4-6x^2+5

 

Die Aufgabe stammt vom Mathekoordinator unseres Gymnasiums 

Leider habe ich keine Zeichnung zur Hand 

 

Ich hoffe sehr mir kann jemand möglichst schnell einen Lösungsweg unterbreiten Schreibe in 2 Wochen meine FO Abiturprüfungen  

gefragt vor 1 Woche, 1 Tag
c
 
Kommentar schreiben
2 Antworten
0

Ich hab dir mal ein Video zur Integralrechnung von Daniel verlinkt.

Über das Video kannst du ja mal in die Playlist für Integralrechnung gehen und schauen. Das sollte zum Lösen der von dir genannten Aufgabe eigentlich reichen.

 

 

geantwortet vor 1 Woche, 1 Tag
j
julianb,
Student, 231
Vorgeschlagene Videos
 

Ich hatte bereits im vorhinein Videos geschaut, weil ich dennoch nicht weiterkam, entschloss ich mich dazu meine Frage hier zu posten 

  -   Crz, kommentiert vor 1 Woche, 1 Tag
Kommentar schreiben
1

Schau mal her (eine Zeichnung hast du ja bereits? Das kann der Übersicht wegen nicht schaden!):

 

Um \(f(x) = x^4-6x^2+5\) zu integrieren müssen wir erst einmal wissen, in welchem Bereich. Dazu finden wir die Nullstellen. Nutze die Substitution als Hilfsmittel

\(f(x) = 0 \text{mit }u = x^2\)

\(u^2 - 6u + 5 = 0\)

... (überlasse ich dir)

\(x_{1,2} = \pm 1\)

\(x_{3,4} = \pm \sqrt 5\)

Wir sind nun am ersten Quadranten interessiert und berechnen die Fläche zwischen x = 0 und x = 1. Machen wir uns also ans integrieren in den besagten Grenzen.

\(\int_0^1 x^4 - 6x^2 + 5 \; dx = \left[\frac15x^5 - 2x^3 + 5x\right]_0^1 = \frac{16}{5} = 3,2\)

 

Der vierte Quadrant ist nun direkt unter dem ersten Quadranten (man zählt beginnend von oben rechts gegen den Uhrzeigersinn). Dieser Flächeninhalt, den wir berechnen sollen, ist nun "negativ orientiert". Wir müssen ihn betragsmäßig zum ersten Flächeninhalt addieren um den gesamten Flächeninhalt A2 zu erhalten. Davor noch eine kurze Überprüfung, dass wir keine weitere Nullstelle im Intervall x = 1 und x = 2 haben --> Blick auf \(sqrt{5} \approx 2,24\). Passt.

\(\int_1^2 x^4 - 6x^2 + 5 \; dx = \left[\frac15x^5 - 2x^3 + 5x\right]_1^2 = -\frac{14}{5} = -2,8\)

Nun beide Flächen betragsmäßig addieren:

\(A_{2} = |3,2| + |-2,8| = 6\)

 

Wir haben also ein Gesamtfläche von \(A_{2} = 6\).

geantwortet vor 1 Woche, 1 Tag
o
orthando,
Student, 195
 

Vielen Dank!

  -   Crz, kommentiert vor 1 Woche, 1 Tag
Kommentar schreiben

Deine Antwort
Hinweis: So gibst du Formeln ein.