Gram-Schmidt-Verfahren


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Ich habe eine kleine Frage bezüglich des Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahrens.

Wenn ich nur eine Orthogonale Basis suche, wieso rechnet man dann noch durch die Bilinearform <v1,v1>?

Denn, es ist ja egal wie "lang" meine Vektoren sind oder nicht?

Stehe da etwas auf dem Schlauch.

Vielen Dank

Liebe Grüsse

Christian

 

gefragt vor 6 Monate, 1 Woche
c
chrugi,
Student, Punkte: 43
 
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1 Antwort
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Hallo,

betrachte mal die Projektion die man über das Skalarprodukt berechnet. 

\( \vec{b_a} = k \vec {a} \)

Dabei ist \( \vec{b_a} \) die Projektion des Vektors \( \vec{a} \) auf \( \vec{b} \) und \( k \) ist der Streckungsfaktor, mit

\( k = \frac {\vec{a} \cdot \vec{b}} {\vec{a} \cdot \vec{a}} \)

Wir bestimmen mit dem Gram-Schmidt Verfahren also immer die Projektion eines Vektors auf die bereits bestimmten Basisvektoren und ziehen diese ab, damit der Vektor senkrecht auf all diesen Vektoren steht.

Beim orthonormalisieren,"fällt der Nenner weg", da der Nenner immer 1 ergibt.

Edit: \( \vec{b_a} \) ist natürlich die Projektion von \( \vec{b} \) auf \( \vec{a} \).

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Hallo Christian


Vielen Dank für die Antwort, jedoch verstehe ich es leider immer noch nicht ganz.



Ich habe diese Definition für das Skalarprodukt in der Vorlesung gefunden.


Nun habe ich so probiert es herzuleiten, dass man bei gram-schmidt durch <v1,v1> teilt, jedoch komme ich immer noch nicht auf die Lösung/Idee...


Ich verstehe leider nicht, wieso man durch die Norm im Quadrat von v1 rechnet. was ja <v1,v1> ist. Oder bin ich falsch?


Hoffe du verstehst mein Problem etwas?



Dies ist ja eigentlich das Ziel bei Gram-Schmidt oder nicht?


Dass man den Projektionsvektor minus Den Vektor v2 in diesm Beispiel rechnet dass er dann orthogonal ist?


Da macht für mich das <v1,v1> leider "noch" keinen Sinn...


 


Vielen Vielen Dank


Liebe Grüsse


Christian


 

  -   chrugi, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Hallo,


das verstehst du richtig. Die Gleichung resultiert direkt aus der Defintion


\( <a,b> = \Vert \vec{a_b} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \Vert \)


und


\( \vec{a_{b}} = k \vec{b} \)


Es gilt


\( \Vert \vec{a_{b}} \Vert = \Vert k \vec{b} \Vert  =  k \Vert \vec{b} \Vert \\ \Rightarrow <a,b> = k \Vert \vec{b} \Vert \cdot \Vert \vec{b} \Vert \\ \Rightarrow \frac {<a,b>} {\Vert \vec{b} \Vert^2} = k \)


Und das war der Zusammenhang, den ich oben genutzt habe.


Ist es jetzt verständlich?


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Ah jetzt ist gut :)


Vielen vielen Dank für die sehr gute Erklärung!


Liebe Grüsse


Christian

  -   chrugi, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Freut mich zu hören. :)


Sehr gerne


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Nur noch eine ganz kleine Frage, wieso darf ich k aus der Norm "ziehen"?
Ist es weil der Streckungsfaktor immer postitiv sein muss?

Vielen Dank und liebe Grüsse
Christian
  -   chrugi, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Die Herleitung oben ist im Bezug auf genau die Situation, die in deinem Schaubild dargestellt ist.
Das resultiert direkt aus der Definition, da wir die Länge des Vektors \( b \) und die Länge der Projektion von \( a \) auf \( b \) multiplizieren. Diese Längen sind aber positiv und somit ist diese Definiton auch nur für ein positives Skalarprodukt.
Wir können aber auch eine ähnliche Überlegung für einen stumpfen Winkel machen und erhalten das selbe Ergebnis, da dann das Skalarprodukt negativ ist. Bei einem stumpfen Winkel ist dann auch der Streckungsfaktor negativ.
Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche

Ah okay jetzt ist klar :)

Vielen Dank

Liebe Grüsse
Christian
  -   chrugi, kommentiert vor 6 Monate, 1 Woche
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