Bestimmung einer Tangentengleichung


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Gegeben: f(x)=x-1/x, x > 0; P(0 I-1) Kontrolllösung: t(x)=5/4*x-1 f'(x)=1+1/x^2 t(x)=mx+n Um die Steigung der Tangenten zu berechnen gilt doch m=f'(0) oder?
gefragt vor 1 Monat
p
 
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2 Antworten
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Hi,

ich nehme an es geht um ein "Fernpunktproblem", wie im obigen Kommentar erwähnt. Ich würde das so angehen:

Nötiges Vorwissen -> allgm Tangentengleichung y = f'(u)(x-u) + f(u)

 

Wir haben:

\(f(x) = x - \frac1x\)

und

\(f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2}\)

Einsetzen in obige Tangentengleichung:

\(y = \left(1+\frac{1}{u^2}\right)\cdot(x-u) + \left(1-\frac1u\right)\)

Berührstellen mit f bestimmen, wobei wir wissen, dass P auf der Tangente liegt, also P einsetzen:

\(-1 = \left(1 + \frac{1}{u^2}\right)(-u) + \left(1-\frac1u\right)\)

Das lösen:

\(u = -2\)

\(y = f'(-2)(x+2) + f(-2)\)

\(y = \frac54 \cdot x + 1\)

 

geantwortet vor 1 Monat
o
orthando,
Student, 845
 
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Hallo,

für die Tangentengleichung \(y=mx+b\) gilt in dem Punkt \(P(x_0|f(x_0))\) für m: \(m=f'(x_0)\).

Zum Ausrechnen von b setzt du einfach die Koordinaten des Punkts für x und y ein.

\(f(x_0)=f'(x_0)\cdot x_0 + b \Leftrightarrow b=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0\)


Mit \(f\) stimmt aber etwas nicht, da \(P\) nicht auf dem Graph der Funktion liegt. 

geantwortet vor 1 Monat
m
maccheroni_konstante,
Sonstiger Berufsstatus, 5621
 

Hallo, danke für ihre Antwort.Doch ich dürfte nicht für x null einsetzen, da x>0 für die Funktonen definiert ist oder?Und die 1. Abl. der Funktion nähert sich doch nur null an, aber wird niemals 0 in dem Definitionsbereich.
Ich kriege halt nicht m=5/4 heraus und weiß nicht, wie ich dort hinkomme.
  -   peter.felix.fest, kommentiert vor 1 Monat

Deshalb kann der Punkt ja auch nicht auf der Funktion liegen.
https://www.desmos.com/calculator/vltysexr0h
  -   maccheroni_konstante, kommentiert vor 1 Monat

Ich nehme an, man soll eine Tangente t finden, die durch P geht. Dabei liegt P nicht auf f, was ja kein Problem ist ;).   -   orthando, kommentiert vor 1 Monat

Das denke ich nicht. Wieso ist dann \(f\) gegeben? Ferner gibt es unendlich viele Geraden, die durch \(P\) verlaufen.   -   maccheroni_konstante, kommentiert vor 1 Monat

Siehe meinte Antwort. Es gibt natürlich unendlich viele Geraden durch P. Wir wollen aber eine Tangente zu f die durch P verläuft ;).   -   orthando, kommentiert vor 1 Monat

Dann sollte man die Frage doch etwas besser ausformulieren.   -   maccheroni_konstante, kommentiert vor 1 Monat
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