Rotationskörper


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Hallo :)

Ich habe eine Frage zu Rotationskörper die ins unendliche reichen:

Die nach rechts offene Fläche zwischen dem Graphen von f mit f (x)=4e^-x , der x Achse und der geraden mit der Gleichung  x=a rotiert um die x Achse. Der entstehende Drehkörper hat das Volumen 8 (pi) Volumeneinheiten. Bestimmen Sie a.

Ich hoffe Ihr könnr mir helfen.

Danke im Voraus.

 

gefragt vor 6 Monate
e
esra 61,
Schüler, Punkte: 10
 

Die Formel für den Rotationskörper ist
\(V = \pi \int_c^d (f(x))^2 dx\)
Damit können wir hier arbeiten, indem wir \(c = 0\) und \(d = a\) setzen. Weiterhin ist \(V = 8\pi\). Wenn man die \(\pi\) gleich kürzt sieht das also so aus:
\(int_0^a (4e^{-x})^2\; dx = 8\)
Das kann man nun lösen. Man wird feststellen, dass man letztlich auf das Problem \(e^{kx} = 0\) geworfen wird und es keine Lösung für a gibt. Wenn man allerdings das Problem für \(a\to\infty\) anschaut findet man für obiges Integral die Grenzfläche \(8(\pi)\).

Vllt hilft dir das dennoch schon ein Stück weiter? ;)
  -   orthando, verified kommentiert vor 6 Monate

Und wenn bspw. \(V=16\pi\) gilt? Setzt du dann auch \(c=0\)?   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 6 Monate

Was hat das mit V zu tun?
Ich ging davon aus, dass die Fläche zwischen Ursprung und x = a gemeint war..."nach rechts offen" hatte ich ignoriert :P.
  -   orthando, verified kommentiert vor 6 Monate
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1 Antwort
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Hallo,

du möchtest den Wert für \(a\) in der Gleichung \(\pi \displaystyle\int\limits_a^\infty (4e^{-x})^2\, dx=8\pi\) bestimmen. Diese können wir direkt auf beiden Seiten durch \(\pi\) teilen. Es ergibt sich \(\displaystyle\int\limits_a^\infty (4e^{-x})^2\, dx=8\) 

Bilden wir zunächst die Stammfunktion des Integranden, so erhalten wir \(\displaystyle\int (4e^{-x})^2\, dx = -8 e^{-2 x}+C\). Schreiben wir die Gleichung um, ergibt sich:

\(\left [-8 e^{-2 x} \right ]_a^{\infty} = 8\)

Für die obere Integrationsgrenze bilden wir den Grenzwert \(\beta\) gegen Unendlich: \(\lim\limits_{\beta \to \infty} -8 e^{-2 \beta}=0\)

Für unsere Gleichung bedeutet dies:

\(\left [0- (-8 e^{-2 a}) \right ]= 8 \Leftrightarrow 8 e^{-2 a} = 8\)

Diese Gleichung gilt es noch zu lösen, um den Wert für die untere Integrationsgrenze zu bestimmen.

geantwortet vor 6 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 

Vielen lieben Dank @maccheroni_konstante !
Ganz schön blöd, dass ich erst jetzt bemerke, dass mein CAS es in 1 Sekunde löst. Habe anscheinend was falsches eingegeben. Jetzt bin ich um einiges schlauer. DANKE
  -   esra 61, kommentiert vor 6 Monate
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