Welchen Beweisansatz? Endliche Summen von Potenzen.


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Hallo Leute, 

\( s_n(p)=\sum_{k=1}^n k^p \)

Zeigen Sie: Zu jedem \( q \geq 1 \) existieren rationale Zahlen \( a_{k,q} , 1 \leq k \leq q-1 \), so dass

\( s_n(q)= \frac 1 {q+1} n^{q+1}+ \frac 1 2 n^q + \sum_{k=1}^{q-1} a_{k,q}n^{q-k} \)

Mir ist leider unklar wie ich den Beweis angehen soll. Induktion? Umstellen? Zuvor wurde noch die Pascalsche Identität gezeigt,

\( \sum_{p=0}^q \binom{q+1}p s_n(p)=(n+1)^{q+1} - 1 \)

aber die kann ich hier ja nicht wirklich benutzen, weil die "innere Summe" sich ja auf p und nicht auf q bezieht, oder?

Habt ihr vielleicht einen Ansatz für die Aufgabe?

 

 

gefragt vor 1 Monat
u
ultor,
Student, 65
 
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1 Antwort
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Hallo,

so wie ich das sehe soll das ganze etwas Verwirrung stiften. 

\( s_n(p) \) definiert ja erstmal nur die Reihe und wenn wir das eingeschränkte q einsetzen ethalten wir gegebenen Grenzwert. 

Nun habe ich es nicht durch gerechnet, da ich “leider“ bis Sonntag im Urlaub bin aber ich denke der von dir gegebene Zusammenhang ist der Weg.

Die Gleichung ist ja nicht direkt auf deine Aufgabe bezogen also setze anstatt p ein q ein und anstatt q ein n 

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 11573
 

Hey,
vielen lieben Dank dass du dir sogar im Urlaub die Zeit nimmst Leuten bei Mathe zu helfen. Sehr cool.

Ich bin seit gestern ein kleines bisschen weiter gekommen. Und zwar ist mir aufgefallen dass ich den letzten Summanden von der Pascalschen Identität raus ziehe ich genau \( (q-1) s_n(q) \) erhalte. Nach viel umformen hänge ich dann aber auch wieder bei
\( s_n(q) = \frac{1}{q+1}(\sum_{k=0}^{q+1} \binom{q+1}{n^k} - \sum_{p=0}^{q-1}\binom{q+1}{p}s_n(p) - 1) \)

Wenn ich deinem Ansatz folge dann struggle ich schon bei der ersten Umformung, und zwar würde ich dann versuchen \( s_n(q) \) auszuklammern aus der Summe von der Pascalschen Identität, aber da weiß ich nichtmal ob ich das überhaupt darf.

Grüße Ultor
  -   ultor, kommentiert vor 1 Monat
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