Herleitung des Binomialkoeffizients


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Hallo,

 

ich verusche gerade z verstehen, woher das Binomialkoefizzient kommt anhand einer Aufgabe mit Stühlen und Schülern. Und zwar lautet diese (verkürzt):

3 Schüler, 5 Stühle.

Wie viele Möglichkeiten gibt es die 3 Schüler auf diese Stühle zu verteilen, wenn man 

a) die Schüler unterschiedet und

b) wenn man die Schüler nicht unterscheidet.

Wenn man Aufg. a und b nich betrachtet, verstehe ich das.

Man hat prinzipiell 5*4*3 Möglichkeiten 3 Schüler auf 5 Stühlen zu verteilen, da für den ersten alle Stühle zur Verfügung stehen, für den zweiten nur 4 und für den dritten nur 3.

Ich kann jetzt aber nicht unterscheiden, ob das für Schüler gilt, die man unterscheidet oder nicht.

Ich hätte gedacht, dass das für beide Fälle gilt (nach dieser Logik aber ich weiß, dass es falsch ist). 

Wenn man die Schüler unterscheidet: Ben hat 5 Möglichkeiten, um einen Platz auszusuchen. Johaness hat 4 und Jonas nur 3.

Wenn man die Schüler nicht unterscheidet: Schüler A hat 5 Stühle frei, Schüler A' 4 Plätze und SCHÜLER A'' auch. 

Ich beachte hier nicht irgendetwas aber ich stehe gerade aufm Schlauch.

 

 

 

gefragt vor 3 Monate
s
sv,
Punkte: 50
 
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1 Antwort
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Stell dir erstmal die 3 Schüler vor. Wenn du sie nicht unterscheidest, heißt das konkret dass es dich nicht kümmert in welcher Reihelnfolge die Schüler sind. Das bedeutet, angenommen die Schüler stehen in einer Linie genau vor dir, dass es egal ist ob da Max, dann Moritz und dann Anna stehen. Oder ob zuerst Anna, Moritz und dann Max da stehen. 

Jetzt verteilst du die 3 auf 5 Stühle. Wie du richtig erkannt hast, gibt es für Anna 5 Sitzmöglichkeiten, wenn sie sich gesetzt hat gibt es noch 4 für Moritz und wenn der sich gesetzt hat bleiben noch 3 Stühle für Max. Also gibt es \( \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \) Möglichkeiten wie sie sich setzen. Angenommen sie haben sich jetzt die ersten 3 Stühle ausgesucht, direkt nebeneinander (nur ein Beispiel, natürlich gibt es viel mehr Möglichkeiten). Dann kann da Anna, Max, Moritz; Anna, Moritz Max; Moritz, Anna, Max; ... sitzen. Momentan unterscheiden wir zwischen den Schülern, also sind das alles unterschiedliche Kombinationen. Sie werden also alle gezählt.  

Unterscheiden wir jetzt hingegen nicht mehr zwischen den Schülern, dann gibt es (in unserem momentan Fall, dass sie sich die ersten 3 Plätze ausgesucht haben) nur die Möglichkeit, dass auf den 1. 3 Stühlen jeweils ein Schüler sitzt. Ob auf Stuhl 1 jetzt Anna, Max oder Moritz sitzt ist egal. Also gibt es nur noch die Möglichkeit "Schüler, Schüler, Schüler". Damit wurde aus vielen Unterschiedlichen Fällen nur noch einer. 

Die Formel für Fall 1 lautet:

\(  \frac{(Anzahl der Stühle)!}{(Anzahl der Stühle - Anzahl der Schüler)!} \) oder auch \( \frac{n!}{(n-k)!} \)

Die Formel für Fall 2 hingegen lautet:

\( \frac{(Anzahl der Stühle)!}{(Anzahl der Schüler)! \cdot (Anzahl der Stühle - Anzahl der Schüler)!} \) oder auch \( \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom n k \)

Also teilt man im 2. Fall noch durch die Möglichkeiten wie sich 3 Schüler untereinander anordnen können.

 

Ich hoffe das hat dir etwas geholfen beim Verständis.

geantwortet vor 3 Monate
u
ultor,
Student, Punkte: 70
 

Zum Ende noch eine Klarstellung:
Mit Fall 1 mein ich den Fall dass du unterscheidest zwischen den Schülern. Fall 2 hingegen ist der Fall bei dem nicht unterschieden wird.
  -   ultor, kommentiert vor 3 Monate
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