Ableitung und Stammfunktion im Sachzusammenhang


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Moin,

ich habe folgendes Problem bei Aufgabenteil c): gegeben ist die Funktion T'(t) als die momentane Änderungsrate von T(t). T(t) bedeutet laut der Aufgabe im Sachzusammenhang die Temperatur des Getränkes. Dementsprechend ist T'(t) die Änderungsrate der Temperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt t.

Im ersten Aufgabenteil von c) soll ich nun die Temperaturabnahme in den ersten 60 Minuten bestimmen. Dies heißt für mich, dass ich das Integral von T'(t) im Intervall [0, 60] bestimme. Dafür muss ich natürlich auch eine Stammfunktion von T'(t) bilden - also T(t). Dies wird aber erst im zweiten Aufgabenteil gefordert, was mir zeigt, dass ich auf der falschen Fährte bin, aber warum?

... und muss ich überhaupt das Integral bestimmen? Kann ich nicht einfach eine Stammfunktion bilden und dann T(60) - T(0)?

 

Hier der Link zur Aufgabe: https://documentcloud.adobe.com/link/track?uri=urn%3Aaaid%3Ascds%3AUS%3Ab56c4622-a652-45df-8fcb-8fe0dcd0b79f

 

Vielen Dank! LG

 

gefragt vor 5 Monate, 4 Wochen
a
arndhrng,
Schüler, Punkte: 16
 
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1 Antwort
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Hallo,

korrekt, die Änderungsrate der Temperatur auf \([0;60]\) bestimmst du mit \(\displaystyle\int\limits_0^{60}T'(t)\, dt\).

"Dies wird aber erst im zweiten Aufgabenteil gefordert, was mir zeigt, dass ich auf der falschen Fährte bin, aber warum?"

Möglicherweise wird davon ausgegangen, dass du dies generell mit dem Taschenrechner berechnest, da keine explizite Stammfunktion angegeben werden soll. 

"und muss ich überhaupt das Integral bestimmen? Kann ich nicht einfach eine Stammfunktion bilden und dann T(60) - T(0)?"

Nach dem HDI darfst du das gerne tun, es würde aber unnötig Zeit verbrauchen. 

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13136
 

Vielen Dank! Was bedeutet HDI? Das kenn ich nur aus Geographie ;) :D   -   arndhrng, kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen

Google hat es mir verraten ;) Danke   -   arndhrng, kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Es gilt \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a)\).   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen

Hallo, hierzu wollte ich fragen könnte man es nicht einfach, falls t die Zeit in Minuten angibt, in die Ableitungsfunktion für t = 60 einsetzen und der y-wert wäre somit die Temperatur des Getränks nach 60 min. Als zweiten schritt könnte man dann die Anfangstemperatur des Getränks abziehen/subtrahieren von der „ausgerechnete Temperatur nach 60 min(s.o. )“
Daraus würde man doch dann die Temperatur erhalten, um welches sich das Getränk verändert hat.
Geht diese Methode nicht auch oder wo liegt mein Denkfehler hierbei?
  -   doni, kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen

@Maccheroni_konstante Danke, dass du den nochmal erwähnt hast. Dein Kommentar hat mir gerade die Augen geöffnet, dass das ja exakt das gleiche ist. Ich habe mich schon immer gewundert, warum man bei den Sachaufgaben nicht einfach direkt die Funktionswerte der Stammfunktion voneinander abzieht. Aber genau das mache ich ja schon so lange. Vielen Dank!   -   arndhrng, kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen

@Doni
Es soll ja die Temperaturabnahme berechnet werden. Die Temperatur ist durch die Funktion \(T(t)\) gegeben. Wenn zum Zeitpunkt \(t=0\) 90° beträgt, und nach 60 Minuten (\(t=60\)) nur noch, knapp 58°, so hat das Getränk um ca. 32° Temperatur verloren. Sprich \(T(60)-T(0)\approx 32°\). Nach dem HDI wieder alternativ mit dem Integral zu berechnen.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen
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