Differenzierbarkeit und Riemann Integral


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Hallöchen. Ich hab ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.

Ich soll beweisen, dass f differenzierbar ist aber f' nicht Riemann-integrierbar ist.

Also mit Hilfe des Differenzenquotienten ( h-Methode) kann ich ja beweisen, dass der rechtsseitige Grenzwert

bei 0 liegt und somit ist f in dem Intervall [0,1] differenzierbar, richtig!?

Aber wie genau beweise ich jetzt, dass f' nicht Riemann-integrierbar ist? 

Ansatz: f' ist bei x = 0 nicht definiert, daher bei x = 0 auch nicht stetig?

Ich danke schon mal im Vorraus. 

 

                              x^(3/2) * sin(1/x),   x > 0

f: [0,1] → R; x → {

                              0,                            x = 0

 

f'(x) = (3*sin(1/x)*x - 2*cos(1/x))/2*sqrt(x)

 

 

Grüße

 

GuMbA

 

gefragt vor 6 Monate
g
gumba,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

tschuldige das die Antwort so spät kommt. War bis gestern Abend noch im Urlaub.

Mit der Differenzierbarkeit stimmt es schon mal.

Das die Ableitung nicht riemann integrierbar ist, zeigt man am einfachsten, indem man zeigt das die Ableitung nicht beschränkt ist.

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14828
 

Ah okay. Habe jetzt versucht zu zeigen, dass f' nicht beschränkt ist indem ich erst geschaut habe, ob Unstetigkeiten vorhanden sind und mir dann die Grenzwerte angeschaut habe. Allerdings war ich der Meinung, dass Funktionen/Folgen mit Sinus/Cosinus immer Beschränkt sind, laut der Definition der Beiden. Ich komme leider nicht ganz weiter.
Ach und danke natürlich für die Antwort und hoffe du bist gut erholt wieder gekommen.
Grüße
GuMbA
  -   gumba, kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen

Ja Sinus und Kosinus sind selbst natürlich beschränkt. Aber wir haben wir ja eine Komposition von Funktionen. Die Ableitung ist

\( \frac {2 \sin( \frac 1 x ) x - 3 \cos(\frac 1 x ) } {3x^{\frac 4 3 }} \)

Was passiert denn wenn \( x \to 0 \) geht?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen
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