Stochastische Konvergenz bezüglich gegebener Metrik zeigen


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Zur Aufgabe: Sei \( \Omega, F, P \) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann definiert \( d(X,Y) = \mathbb{E}[\min (1, |X_n - X | ) ] \) eine Halbmetrik. Zeigen Sie, dass \(X_n\) stochastisch gegen X konvergiert, genau dann, wenn \(X_n\) gegen X in der Halbmetrik d konvergiert.

Mein Ansatz: Ich denke, dass zumindest eine der beiden Richtungen nicht schwer ist, sofern ich das richtig verstanden habe. Wenn ich davon ausgehe, dass \(X_n\) stochastisch gegen X konvergiert, dann heißt das \(\lim_{n \to \infty} P(d(X_n,X) \geq \epsilon) = 0\) und somit, da P ein Maß, \( \{ X : d(X_n, X) \geq \epsilon\} = \emptyset\) und somit folgt direkt \( d(X_n,X) < \epsilon\), also die Konvergenz in der Halbmetrik. Für die andere Richtung habe ich leider noch keinen Ansatz.

 

gefragt vor 1 Monat
m
 
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1 Antwort
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Hallo,

Stochastik ist leider nicht mein Steckenpferd, aber vielleicht bekommen wir das Problem ja zusammen gelöst. 

Ich nehme an du meinst das \( \{ X : d(X_n,X) \geq \epsilon \} \) eine Nullmenge ist. Das bedeutet aber nicht, dass diese Menge eine leere Menge ist. Oder übersehe ich was? 

Ich überlege schon die ganze Zeit ob man nicht die Markov Ungleichung nutzen kann, um einen Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert herzustellen. 

Bin leider noch nicht ganz zu einem Schluss gekommen. Überlege nochmal weiter.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat
christianteam,
Sonstiger Berufsstatus, 11643
 
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