Hoch- und Tiefpunkte


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Was it der Grund dafür, dass bei einem Hochpunkt die 2.Ableitung < 0 und bei einem Tiefpunkt die 2.Ableitung > 0 ist.

Ich weiß, dass die erste Ableitung die Steigung von f(x) angibt, während die 2. Ableitung die Steigung der ersten Ableitung angibt. Aber welcher Zusammenhang besteht zwischen 2. Ableitung und f(x) ?

Vielen dank schonmal im Vorraus !!

 

gefragt vor 6 Monate
a
abbes,
Schüler, Punkte: 10
 

Wenn du noch ein Bild im Kopf dazu haben willst:

f(x) ist bei mir immer das Fahrrad. Wenn ich nun herausfinden möchte, ob ich auf einer Ebene fahre oder den Berg hoch/runter fahre, dann schaue ich auf die Ableitung. Haben wir eine positive Steigung, so ist f'(x) > 0. In der Ebene (oder Extrema bzw. Sattelpunkt) haben wir f'(x) = 0. Für den Berg abwärts haben wir f'(x) < 0.

Die zweite Ableitung gibt nun das Verhalten des Lenkers wieder. Begib dich auf die Kurve, wenn du den Lenker nach rechts drehen musst, dann ist f''(x) < 0. Das ist unter anderem bei einem Hochpunkt der Fall. Bei einem Wendepunkt hingegen, hast du den Lenker gerade aus, weswegen wir hier f''(x) = 0 haben. Entsprechend beim Tiefpunkt.

Siehe dazu auch die Graphiken bei mcbonnes ;).
  -   orthando, verified kommentiert vor 6 Monate

Vielen Dank !!!   -   abbes, kommentiert vor 6 Monate
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2 Antworten
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Graphisches Ableiten hat mir das damals deutlich gemacht.

 

geantwortet vor 6 Monate
mcbonnes,
Auszubildender, Punkte: 851
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Vielen Dank !!!   -   abbes, kommentiert vor 6 Monate
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Hallo,

das liegt daran, dass die 2. Ableitung das Krümmungsverhalten der Funktion angibt. Für \(f''(x)<0\) ist die Funktion konkav (rechtsgekrümmt), bzw.  weswegen so nur ein Maximum existieren kann. Für \(f''(x)>0\) ist sie konvex.

geantwortet vor 6 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 

Vielen Dank !!!   -   abbes, kommentiert vor 6 Monate
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