Abstand zweier Geraden: Vektoren


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Bei folgender Aufgabenstellung komme ich nicht weiter:

Eine Leuchtkugel fliegt vom Punkt P(4/0/0) geradlinig in Richtung des Punktes Q(0/0/3). Eine zweite Leuchtkugel startet gleichzeitig vom Punkt R(0/3/0) und fliegt geradlinig in Richtung des Punktes T(0/0/7). Beide Kugeln fliegen gleich schnell. Wie weit sind die Kugeln zu dem Zeitpunkt voneinander entfernt, bei dem die erste Kugel den Punkt Q erreicht? 

 

gefragt vor 6 Monate
m
marvinbartman,
Punkte: 10
 
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2 Antworten
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Hallo,

1: Die Verbindungsvektoren zwischen PQ bzw. RT berechnen.

2: Die Länge bestimmen: |PQ| = 5, |RT| = \(\sqrt{58}\)

3: Die Geradengleichung aufstellen, die R, T beinhaltet. 

4: Als Parameterwert \dfrac{5}{\sqrt{58}\) einsetzen. Der resultierende Punkt (bzw. sein Radiusvektor) ist der Punkt (S) , an dem sich die 2. Kugel nach 5 ZE befindet.

5: Abstand der zwei Punkte S, Q berechnen. 

 

Kontrollergebnis: \(d(Q;S)=\sqrt{43 - 150 \sqrt{\dfrac{2}{29}}}\)

geantwortet vor 6 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13216
 
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mach dir bei solchen aufgaben immer eine skizze. das hilft enorm viel.

stell zuerst die geradengleichungen auf. eigentlich brauchst du nur die mit den Punkten R und T. 

g: x= r + v × RT

dann brauchst du die Länge des Vektors PQ. also Betrag von PQ bilden. der ist hier 5. Diese Strecke, also 5 Längeneinheiten, legt auch die zweite Leuchtkugel hinter sich. also vom Punkt R und dann 5 Längeneinheiten auf der Geraden g weiter zu Punkt T. diesen Punkt brauchst du. du bildest den Einheitsvektor von RT, der ja dir Länge 1 dann hat. dann ersetzt du in deiner Geradengleichung den Richtungsvektor RT durch seinen Einheitsvektor. für v setzt du dann 5 ein, somit gehst du von R dann 5 Längeneinheiten zu T, weil ja 5 mal der Einheitsvektor mit der Länge 1 du zu deinem gesuchten Punkt kommst. jetzt bildest du den differenzenvektor von Q und deinem gefundenen Punkt z.B. namens S und nimmst davon den Betrag. dann hast du den Abstand von den beiden Leuchtkegeln zu dem Zeitpunkt, an dem die erste Kugel den Punkt Q erreicht.

geantwortet vor 6 Monate
c
clostboyl,
Student, Punkte: 20
 
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