Prozentrechnung und Zinseszins, Geldanlage


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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit einem theoretischen Beispiel:
(Achtung! lang und kompliziert!)


Zu Beginn habe man ein Startkapital K.
Dieses werde vollständig in einer bestimmten Geldanlage investiert, womit es erst einmal für den Investor unerreichbar ist.
er kann sich dieses geld nicht auszahlen lassen oder sonstwas, es ist eben investiert.

Bei dieser Geldanlage gelten folgende Regeln:
Es gibt einen monatlichen zinssatz, sagen wir 15%.
d.h. am Ende jeden Monats gibt es auf den kapitalstand vom Monatsanfang 15% zinsen.
Weil die Firma aber auch Ausgaben hat, wird von der moantlichen Rendite 1% einbehalten, d.h.
man müsste statt der vollen 15% nur 14,85% ausbezahlt bekommen.

Nun gilt weiterhin dass man sich nicht die volle Rendite auszahlen lassen kann, sondern maximal 50%.
d.h. mindestens 50% werden reinvestiert.
wieviel der maximal 50% der Rendite ausbezahlt wird, liegt im Ermessen des Nutzers und er kann dies nach Gutdünken entscheiden.
er kann alles reinvestieren oder auch das maximal mögliche auszahlen lassen (dann werden 50% reinvestiert und 50% ausbezahlt.

Zusammenfassend müsste also gelten:
bezeichne K(t) das Kapital am Monatsanfang und K(t+1) das Kapital am Monatsende, sozusagen einen Monat später.
die Rendite im Monat t sei R(t) und müsste R(t)=K(t)*0,15*0,99 betragen eben die 15% Zinsen abzüglich der
1% Servicekosten hierauf.
Bezeichne nun v die prozentuale Rate, die der Kunde vom frei verfügbaren Teil der Rendite wieder reinvestieren will.
heißt also: 50% der Rendite sind nicht verhandelbar, die werden auf jedenfall investiert, von den restlichen 50% wird der kunde v reinvestieren und sich (1-v) auszahlen lassen.
also bei v=50% würden insgesamt R(t)*0,5*(1+v) reinvestiert werden und R(t)*0,5*(1-v) ausgezahlt werden

der kunde ist faul, also ist bei ihm v stets der gleiche wert.
er behält diesen über monate und jahre bei.

Also haben wir zusammengefasst:
K(0)=K ist das Startkapital.
R(t) bezeichne die Rendite im Monat t, basierend auf dem Kapital K(t) am Monatsanfang. daher
R(t)=K(t)*0,15*0,99

nun werden zwischen 50% und 100% hiervon reinvestiert, abhängig vom vorgegebenen festen v:
reinvestteil
RI(t)=R(t)*0,5*(1+v)=K(t)*0,15*0,99*0,5*(1+v)= K(t)*(1+v)*0,07425

was in diesem Monat ausgezahlt wird, ist dann
RA(t)=R(t)*0,5*(1-v)=K(t)*0,15*0,99*0,5*(1-v)= K(t)*(1-v)*0,07425

Das Kapital am beginn des Folgemonats ist dann
K(t+1)=K(t)+RI(t)

so weit so gut.
Dummerweise hat die Firma noch eine weitere Bedingung im Petto:
Geld, das vor 12 Monaten investiert wurde, "verfällt", d.h. wirft keine weitere Rendite mehr ab und kann auch nicht ausgezahlt werden, sit also nutzlos für den Kunden.

dies ist zu Beginn kein Problem, aber sobald 12 Monate oder mehr vergangen sind, wird dies zum Problem.


Bei t=1-12 mussten wir nur die monatliche verzinsung und deren Aufspaltung in reinvesitierten und ausgezahlten Teil beachten bei der Berechnung von K(t+1).
ab t=13 muss nun auch berücksichtigt werden, das geld wegfällt und keine Rendite mehr bringt.


Sagen wir, wir haben den Monat t=13.
Dann berechnet sich dessen Monatsanfangskapital wie folgt:
Wir nehmen K(12), packen hierauf den reinvestierten Teil der Rendite für diesen Monat.
und ziehen nun das ab, was im Monat 1 investiert wurde (denn im Monat 12 wirft jenes geld das letzte mal rendite ab und darf ab dann nicht mehr als renditerelevantes kapital betrachtet werden)
bezeichne V(12) jenes Geld, das im Monat 12 das letzte Mal Rendite abwirft und danach verfällt.

damit ist dann K(13)=K(12)+RI(12)-V(12)

nun ist V(12) gleich dem kapital das am Anfang von Monat 1 investiert wurde, also

K(13)=K(12)+RI(12)-K(1)

Aufgrund dieses Ausdrucks lässt sich vermuten dass die allgemeine Formel für das Kapital in Monat t, mit t>12, lautet:

K(t)=K(t-1)+RI(t-1)-K(t-12)

setzen wir die analoge Formel für RI(t-1) ein, so finden wir:

K(t)=K(t-1)+K(t-1)*(1+v)*0,07425-K(t-12)
=K(t-1)*(1+(1+v)*0,07425=-K(t-12)

v ist eine vorgegebene Konstante, K(t-1) das Startkapital des Vormonats,
K(t-12) das Monatsanfangskapital von vor 12 Monaten.

Nun kann man sich natürlich fragen:
1. im Laufe von 12 Monaten, wie viel Geld wird da so ausgezahlt.
und noch viel wichtiger:
2. es könnte ja durchaus vorkommen dass das Kapital imn Laufe der Zeit sinlkt (aufgrund des 12 Monatsverfallsregel und einem nicht zu starken Zinseszinseffekts)
welchen wert müssten wir für v wählen damit immer ein positiver Betrag (der idealerweise von Monat zu Moant steigt) ausgezahlt wird?
also das Kapital letztlich nach 12 Monaten mindestens genauso hoch ist wie vorher, trotz des wrgfallenden Geldes.

Wie würde man das angehen?
natürlich könnte ich viele Dinge ineinander einsetzen.
aber das mahct ja keinen wirklichen Spaß.
könnte auch einfach v ausrechnen indem ich das Kapital monat für monat neu berechne bis ich von t=1 bis irgendwann bei t=13 angekommen bin und gucke für welchen Wert von v K(13)>=K(1) gilt.

Das ist aber sehr viel Arbeit und sehr aufwendig.

Gibt es da keine einfachere Möglichkeit?

und kann man es irgendwie allgemein zeigen?

oder gibt es da passende formeln wie man das berechnen kann?

denn soweit ich das sehe ist die rekursive formel hier ja sowas in der art
a(t+1)=b*a(t)-c

dafür gibts doch bestimmt explizite formeln, oder?

und wie würde man am einfachsten das insgesamt im laufe eines jahres ausgezahlte geld berechnen?

 

 

gefragt vor 6 Monate
d
densch,
Student, Punkte: 77
 
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1 Antwort
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Hallo,

das ist wirklich eine lange Aufgabe und ich hoffe ich habe keine Fehler gemacht, außerdem habe ich nicht die größte Erfahrung im Thema Finanzmathematik, aber hier meine Betrachtung.

Zuerst wenn \( v \) der prozentualle Wert ist, der reinvestiert wird, dann gilt für den reinvestierten Betrag \( R(t) \cdot v \), mit \( v \in [\frac 1 2 , 1] \). Somit gilt für den auszuzahlenden Betrag \( R(t) \cdot (1-v) \). Die 0,5 sind überflüssig, da du sonst nur die Hälfte der Rendite betrachtest. 

Nun zu dem Punkt, ab dem der vor einem Jahr investierte Teil verfällt.

Du hast dafür die Gleichung 

\( K(t) = K(t-1) + R_i(t-1) - K(t-12) \)

aufgestellt. Allerdings ist das Kapital nur im aller ersten Monat der investierte Betrag. Danach nicht mehr. Da würde vielleicht besser sowas wie \(\ldots  - (K(t-13)-K(t-12)) \) hinpassen, um die Differenz der beiden Kapitalbeträge zu haben. Denn genau das ist doch das reinvestierte oder?

Nun weiß ich nicht ob eine direkte Formel dafür schon existiert. Ich glaube ich würde schauen, für welche v die rekursive Folge monoton wachsend ist und für welches v sie monoton fallend ist (natürlich erst ab t=13). 
Dann weißt du immerhin, ob das Kapital steigt oder ob es sinkt. 

Was meinst du erstmal dazu?

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 15068
 

Hallo,
erst einmal Danke für die Antwort.
Ja, so im Groben hatte ich das auch gedacht.
Beim Reinvestfaktor hatte ich halt, da der eben mindestens 50% betragen muss, eher so gedacht: 50% sind muss und über den Anteil der restlichen 50%, der investiert werden soll, kann frei entschieden werden.
also 50% werden "zwangsinvestiert" und nochmal v*50% freiwillig investiert (wobei v eben 0-100%)

aber für Rechenzwecke ist deine Variante wesentlich einfacher und praktischer, im prinzip ist es zum Lösen meiner Probleme auch egal.
Nehmen wir deine Variante, die ist einfacher zu rechnen :-)
das mit dem verfallenden Anteil stimmt.
ich muss mal überlegen:
sagen wir im Monat 1
starten wir mit K und erhalten hier die Rendite R (gemeint soll hier immer nur der reinvestierte Teil sein, RI vo noben sozusagen).
in monat 1 passiert nix, da wird R erst erwirtschaftet.
monat 2 wird R zum ersten mal investiert,
in monat 3 zum 2. mal
...
in monat 13 zum 12. mal
nun ist R "verbraucht" und praktisch tot.
in monat 14 und folgende wird R nicht mehr berücksichtigt.
d.h. beim kapital zu beginn von Monat 14 muss R abgezogen werden.
R ist, korrekt gesprochen R(1), d.h. die im ersten Monat erwirtschaftete Rendite.
d.h. bei der berechnung von K(14) wird R(1) abgezogen.
d.h. analog wird bei berechnung von K(t) R(t-13) abgezogen.

Recht hast du mit K(t-12)-K(t-13), praktisch gesprochen ist das ja gerade die Rendite aus dem Vormonat (monat t-13).
könnte man also in der Formel auch einfach R(t-13) abziehen, was sich natürlich wieder abhängig von K(t-13) darstellen lässt.

Ich denke, Endziel wird es letztlich sein, K(t) in Abhängigkeit von K(t-13) und v darzustellen.
und damit K(t)/K(t-13) zu bestimmen.
ist das größer 1, ist das Kapital gewachsen.
ist es gleich 1, haben wir wenigstens den status quo bewahrt.
kleiner 1 wäre schlecht, denn dann wäre das monoton fallend und ginge irgendwann ganz auf 0 runter.

nur die frage wie wir nun K(t) durch K(t-13) ausdrücken ohne induktives einsetzen...
  -   densch, kommentiert vor 5 Monate, 4 Wochen

wobei.
würde ich K(t-1) durch den Vorgänger ausdrücken, käme dann auch K(t-14) ins Spiel, etc. ...

Ich glaube, das beste ist wohl, ich betrachte es einfach mal t=13, also das erste Zahl, in dem ein Verfallsterm dazukommt.

wenn dieser Ausdruck, abhängig von K(1)=K=Startkapital und v, geteilt durch K(1) entsprechend >=1 ist, wäre das Ziel erreicht.

Denn die grundsätzliche Berechnungsformel ändert sich über die Jahre ja nicht.
wir haben auch nicht das problem dass sich renditen von vor mehr als 12 monaten einschleichen, die irgendwo mitverzinst werden. es gibt in dem sinne keine vergangenheit, die sich positiv oder negativ auswirken könnte.

kann halt nur sein dass neben einem gewissen v auch ein gewisses Startkapital vorhanden sein muss damit sich das ganze weiterhin trägt.



müsste man wohl ausrechnen.

vor allem aber wäre die berechnung einfacher weil K(t) mit 1<=t<=12 keinen verfallsterm drinhat, der uns behindert könnte.
demnach könnte ich doch eigentlöich ganz billig sagen:
K(1)=K gegeben.
K(2)=K(1)+RI(1)=K(1)+K(1)*Monatszinssatz(effektiver)*v
=K(1)*(1+monatszins*v)

demnach wäre K(13)=K(1)*(1+monatszins*v)^12-K(1)
=K(1)*((1+monatszins*v)^12-1)

das durch K(1) wäre
((1+monatszins*v)^12-1)

dies soll >=1 sein, also
((1+monatszins*v)^12-1)>=1
(1+monatszins*v)^12>=2
(1+monatszins*v)>=wurzel12(2) ist ca. 1.595
ergo monatszins*v >=0.595
also grob größer 6%.

Stimmt das soweit?

bin mir nur unsicher ob die situaion nun vergleichbar ist mit der bei den monaten t>13.
einerseits hat man zwar nicht den verfallsterm (okay, der war hier einmalig mit dabei)
aber auch nicht die wieder verzinsten renditen aus den vormonaten.

ob sich die 2 effekte wohl aufheben.?

ich sehe mich gerade nicht in der lage, das zu beantworten :-(


  -   densch, kommentiert vor 5 Monate, 4 Wochen

Tut mir leid das die Antwort so lange gedauert hat.
Die Gleichung stimmt soweit. Allerdings musst du für die monotone Steigung zeigen, das \( \frac {K(t+1)} {K(t)} \) gilt. Mit \( \frac {K(13)} {K(1)} \) bestimmst du nur ob es bis zu diesem Monat gestiegen ist.

Aber ab dem 13ten Monat kann man ja wieder so eine Überlegung machen für das was abgezogen wird. Wenn wir
\( K(t) = K(t-1) + R_i(t-1)- (K(t-13)-K(t-12)) \\ = K(t-1) + R_i(t-1) +K(t-12)-K(t-13) \\ = K_0(1+zv)^t+K_0(1+zv)^{t-12} - K_0(1+zv)^{t-13} \\ = K_0 ((1+zv)^t+(1+zv)^{t-12} -(1+zv)^{t-13} ) \)


Mit dieser Gleichung müsstest du nun die monotonie überprüfen können.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate, 3 Wochen
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