Hilft mir einen Beweis nachzuvollziehen


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Behauptung: 

Sei \( [0] \ne [a] \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \). [a] besitzt genau dann ein Inverses wenn ein \(b \in \mathbb{Z}\)  existiert mit der Eigenschaft dass n die Zahl ab-1 teilt.

Beweis:

1. Sei [b] das Inverse zu [a]. Dann gilt \([a] \cdot [b] = \text{ Rest von } a \cdot b=[1]. \) Also \( a \cdot b=q\cdot n+1 \) oder \( a\cdot b-1=q\cdot n. \) Also existiert ein \( b \in \mathbb{Z} \), so dass \( n \) die Zahl \( ab-1 \) teilt.

 

2. Sei nun \(b\in\mathbb{Z}\) , so dass \( n \) die Zahl \(ab-1 \) teilt. Es gilt also \( ab-1=q'n \) oder \( ab=q'n+1.\)

Sei nun \(b=sn+r, 0\leq r \leq n-1 \). Division mit Rest. Dann gilt \([a][r]=\text{Rest von} ar.\) Es ist aber

\(ab=a(sn+r)=asn+ar=q'n+1\)

Also gilt:  \(ar=(q'-as)n+1\)

Wegen Eindeutigkeit des Rests und der Zahl \( (q'-as) \) folgt \([a][r]=\text{Rest von ar}=[1]\). Also hat \([a]\) ein Inverses.

q.e.d

 

Implikation 1 ist mir eigentlich klar, aber Implikation 2 verwirrt mich. Weshalb muss b nochmal in eine andere Zahl aufgeteilt werden? Ich dachte es reicht zu zeigen \(ab-1=q'n  \leftrightarrow ab=q'n+1 \). Daraus folgt doch dass bei der Division von ab durch n der Rest 1 bleibt, und da 1 das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist folgt so doch sofort die Behauptung dass es zu a ein Inverses gibt. Was zeigen die Schritte danach genau? Das verstehe ich leider nicht ganz. 

 

gefragt vor 4 Monate, 4 Wochen
u
ultor,
Student, Punkte: 70
 
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1 Antwort
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Hallo,

wir teilen hier b nochmal auf, da wir zeigen müssen, das b auch wirklich eine Klasse repräsentiert, nämlich die Klasse zum Rest r. Nur dadurch erreichen wir eine Eindeutigkeit.

Tut mir Leid das die Antwort so spät kommt. War gestern leider den ganzen Tag unterwegs.

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Hey,

Danke dir, jetzt verstehe ich das.

Grüße,
Ultor
  -   ultor, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
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