Konvergenz von Fourierreihen die Dritte


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Okay, der (hoffentlich) letzte Schritt:

Ich will folgendes zeigen: (Quasi den \(x^{-} \) teil vom Satz von Dini mit Hilfe der bisher geleisteten Herleitung).

\(  \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \frac{f(x-t)-f(x)}{\sin(t/2)} \sin((2n+1)t/2) dt =0 \) .

 

Ich habe dazu folgende Aussagen:

\( \int\limits_{0}^{\pi} \frac{f(x-t)-f(x)}{t}dt \) konvergiert absolut

und die Aussage des Lemma von Riemann Lebesgue über eben so eine absolut konvergente Funktion f(x):

\( \lim_\limits{\lambda \to \infty} \int\limits_{a}^{b}f(x)sin\lambda x dx = 0 \).

 

Unten nochmal der Kontext aus der letzten Frage.

Mir hilft der Hinweis leider nicht, dass \(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 \) gilt, auch wenn mir klar ist, dass es so ist.

 

 

gefragt vor 4 Monate, 4 Wochen
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ikeek, verified
Lehrer/Professor, Punkte: 780
 
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1 Antwort
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Hallo,

tut mir Leid das es dieses mal etwas länger gedauert hat. Wenn du 

\( g(t) = \frac 1 {2\pi} \int_0^{\pi} \frac {f(x-t) - f(x)} {t} dt \)

setzt und \( \lambda = 2n+1 \), kommst du ja schon fast auf die Form für das Lemma von Lebesgue. Dein Integral wird dann zu

\( \frac 1 {2\pi} \int_0^{\pi} g(t) \frac { \frac t 2} {\sin(\frac t 2)} \sin(\lambda \frac t 2) dt \)

In der Mitte steht der Bruch der den Grenzwert 1 hat. Jetzt müssen wir uns nur überlegen, wieso für diesen Bruch \( t \to 0 \) gehen soll. Da bin ich mir gerade auch sehr unsicher.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Das t gegen 0 ist ja das Problem mit der unteren integral Grenze, da es ein uneigentliches integral ist, da Sinus für t gegen 0 auch gegen 0 geht, vielleicht?

mich wundert halt, das der Tipp in dem buch sin t/t ist, wir aber auf t/ sin t kommen..
  -   ikeek, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Vielleicht soll der Hinweis nur in die Richtung führen, das man überhaupt über diesen Bruch nachdenkt. Aber mit l'hospital lässt sich leicht nachrrechnen, das der Kehrwert auch mit \( \frac t 2 \) gegen \( 1 \) konvergiert.

Das mit den Integralgrenzen ist eine wirklich gute Idee. Aber leider bekommen wir das Integral nicht separiert. Wir müssten auch die Ableitung davon integrieren, damit am Ende in diesen Bruch die Integralsgrenze eingesetzt wird.
Ich versuche mich deshalb schon die ganze Zeit darin ob man durch die partielle Integration solche Terme erzeugen kann, die dann durch die oberen Angaben konvergieren und wegfallen. Vielleicht hast du da eine Idee. Ich überlege mal noch weiter bin noch zu keinen vernünftigen Schluss gekommen.

Ich sehe aber auch gerade, das mein \( g(t) \) so gar nicht stimmt. ich habe die Funktion ja mit dem Integral definiert. aber natürlich ist es nur der innere Teil.
\( g(t) = \frac {\tilde{f}(x-t) - \tilde{f}(x)} { \frac t 2 } \)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Hallo Christian und auch andere Helfer :) Ich habe in meinem oberen Beitrag nochmal ein Beweis aus einem anderen Buch angehangen, vielleicht hilft uns das weiter, mir fehlt irgendwie immernoch der Blick für das große Ganze und wäre super froh, wenn den Beweis jemand nachvollziehen und vielleicht in seinen Worten widergeben könnte. Danke!   -   ikeek, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Tut mir leid mir ist die Frage die letzten Tage leider durch gegangen. Ich habe mir im Internet nochmal das Lemma von Riemann-Lebesgue durchgelesen.
Habt ihr das Lemma so wie du oben formuliert? Ich finde es nämlich allgemein mit messbaren Funktionen. Dort heißt es das für eine messbare Funktion mit
\( \int_{\infty}^{\infty} \vert f(x) \vert dx < \infty \)
die Fouriere-Transformierte im unendlichen verschwindet.

Nun wird in dem ersten Teil des Beweises erklärt, das unsere Funktion punktweise konvergent ist. Es gibt einen Satz der sagt, das alle punktweise konvergenten Funktionen insbesondere messbar sind. Also haben wir schon mal eine messbare Funktion vorliegen.
Im zweiten Teil wird argumentiert, das die Funktion integrierbar ist. Das ist gleichbedeutend mit
\( \int_{\infty}^{\infty} \vert f(x) \vert dx < \infty \)

Somit würde ich sagen, das hier die Grundvoraussetzung des Lemmas bewiesen werden.
Ich hoffe das hilft dir noch weiter.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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