Schnittgerade zweier Ebenen


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Moin,

ich brauche die Schnittgerade von E1 und E2 mit

E1: 2x - 8y + 23z = 28 und E2: z = 0

ich habe E2 nun also mit 23 multipliziert, dann voneinader subtrahiert. Dann hatte ich die Ebene 2x - 8y = 28. Nach x umgestellt ergibt dies x = 14 + 4y. Dies setze ich nun wieder in E1 ein. Dann erhalte ich

2(14 + 4y) - 8y + 23z = 28. Dabei fällt das y weg (das habe ich als y = 0 interpretiert) und z ergibt z = 0.

Ich habe also folgendes:

x = 14 + 4y

y = 0

z = 0

Meine Gerade lautet dann x = (14 | 0 | 0) + t (4 | 0 | 0). Die Lösung hat jedoch den Richtungsvektor (4 | 1 | 0). Das würde bedeuten, dass ich folgendes brauche:

x = 14 + 4y

y = 1y

z = 0

Ich bekomme ja aber y = 0 und nicht y = 1y raus. Wobei die Gleichung y = 1y Sinn ergibt. Wer kann mir helfen, sodass ich auch rechnerisch auf das richtige y (also auf die richtige zweite Zeile der Geraden) komme?

Gruß

 

gefragt vor 5 Monate, 3 Wochen
a
arndhrng,
Schüler, Punkte: 16
 
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1 Antwort
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Hallo,

deine interpretation von \( y=0 \) stimmt so nicht. 

Wir erhalten richtig die Lösung \( z = 0 \).
Nun haben wir aber noch die Gleichung \( x = 14+ 4y \). Wäre \( y=0  \) so wäre \( x = 14 \) und die beiden Ebenen würden sich in einem Punkt treffen.

 
Wir wählen nun \( y= t \). Denn wenn \( y \) aus den Gleichungen wegfällt, bedeutet das nicht das die Variable Null ergibt, sondern das sie frei wählbar ist.
Denn wenn sie keinen Einfluss ausübt, ist es ja egal was wir dafür einsetzen. 

Dann ergibt sich \( x = 14 + 4t \) und wir erhalten den Lösungsvektor

\( \begin{pmatrix} 14+4t \\ t \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

und sehen das dieser eine Gerade beschreibt.

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
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