Unterraum prüfen, Basis und Dimension bestimmen und Basis ergänzen


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Hallo,

diese trivialen Basen habe ich noch verstanden. Aber wie kommt man auf die Basis wenn es Vorgaben gibt ?

Die Teilmenge \( U\subset \mathbb{R}^4 \) sei gegeben durch

\( U=\left\lbrace v|v=\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{pmatrix} \text{ und } v_1-v_2+v_3=0 \text{ und } v_2+2v_3-v_4=0 \right\rbrace \)

1. Zeigen sie, dass U ein Unterraum von \( \mathbb{R}^4 \) ist.

Dass ist mir klar, da weiß ich nur wieder nicht, wie ich dass korrekt zu formulieren habe. Das passt für den Nullvektor, Vektoraddition und Skalarmultiplikation sind auch abgeschlossen. Ist also ein Unterraum

2. Bestimmen Sie eine Basis von \( U \), und berechnen Sie die Dimension von \( U \).

Hmm, wie geht das ? Ich kann das noch in eine Matrix klatschen und TNF bilden, aber was fange ich damit dann an ?

\( \begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 & -1\end{pmatrix} T_{12}(1)\rightarrow \)

\(  \begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & -1\\ 0 & 1 & 2 & -1\end{pmatrix} \)

Dimension ist dann: 2 ?

3. Ergänzen Sie die von Ihnen gefundene Basis von U zu einer Basis von \( \mathbb{R}^4 \).

Auch keinen Schimmer. Wo finde ich da ein Rezept dafür ?

 

Grüße,

Stephan

 

gefragt vor 5 Monate, 2 Wochen
s
stehgold,
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 30
 
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2 Antworten
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Hallo,

wenn du die Eigenschaften eines Untervektorraums gezeigt hast, reicht das schon, da \( U \subset \mathbb{R}^4 \) vorrausgesetzt ist. 

Zur 2) deine beiden Einschränkungen sind im Prinzip zwei Ebenen. Da beide Gleichungen gelten sollen ist der Unterraum den wir hier erhalten die Schnittmenge der beiden Ebenen (wundere dich hier nicht falls keine Gerade heraus kommt. Im \( \mathbb{R}^4 \) müssen sich zwei Ebenen nicht in einer Gerade treffen, sondern können sich auch in einem Punkt oder einer Ebene schneiden).

Nun sind all diese Vektoren in der Schnittmenge, die auch die beiden Gleichungen erfüllen. Also hast du hier nichts anderes als ein LGS das du lösen kannst. Du wirst keine eindeutige Lösung erhalten. Für jeden frei wählbaren Parameter erhälst du dann im Prinzip einen Basisvektor. Am besten bestimmst du erstmal die Lösung des LGS und dann schau ich nochmal drüber :)

Zur 3) Ich vermute mal das du zwei Basisvektoren erhalten wirst. Also brauchst du zwei Vektoren die linear abhängig sind und zusätzlich nicht in der Ebene liegen. Am einfachsten sind orthogonale Vektoren zu bestimmen. Aber das können wir uns nochmal genau angucken wenn die Basis bestimmt ist.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 5 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Ebenen, Geraden ? Nope, kein Idee. Ich kriege da gar nichts gelöst. Was da oben steht ist alles was mir dazu einfällt. ;(   -   stehgold, kommentiert vor 5 Monate, 2 Wochen

Das mit den Geraden und Ebenen musst du kennen. Das hat man im Abitur gemacht.
Im Abitur konnte man doch auch die Schnittmenge von zwei Ebenen bestimmen. Wenn diese in Koordinatenform waren musste man aus den beiden Gleichungen ein Gleichungssystem basteln.

Wir erhalten also das Gleichungssystem

\( \left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \)

Wie ist die Lösung von diesem Gleichungssystem? Du hast die Matrix ja schon in TNF gebracht. Kannst die Lösung also quasi ablesen.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate, 2 Wochen


"Das mit den Geraden und Ebenen musst du kennen. Das hat man im Abitur gemacht."Mag sein, ich habe aber kein Abitur. Ich bin Techniker."Du hast die Matrix ja schon in TNF gebracht. Kannst die Lösung also quasi ablesen."Na, dann hätte ich nicht gefragt. Wo ist da jetzt die Lösung ? Und da ist v4 bei beiden -1, das ist doch nicht unabhängig. Wenn ich die kombiniere, kommt doch für v4 immer ein Vielfaches von -1 heraus. OK. außer beim Nullvektor.
  -   stehgold, kommentiert vor 5 Monate, 2 Wochen

Oh da muss ich mich dann entschuldigen. Dann hilft dir meine Erklärung natürlich nicht sonderlich weiter.

Wir haben hier ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem vorliegen. Das bedeutet das wir mehr Variablen als Gleichungen vorliegen haben.
Wir können dieses Gleichungssystem nicht eindeutig lösen. Eine eindeutige Lösung würde aber auch bedeutet das nur ein einziger Punkt in unserem Raum liegen würde.

Nun haben wir das oben geschriebene Gleichungssystem. Die untere Zeile bedeutet dabei soviel wie
\( v_2 + 2v_3 -v_4 = 0 \)
Wir können nun zwei dieser Variablen frei wählen. Die dritte ergibt sich dann in Abhängigkeit dieser gewählten Werte.
Nehmen wir mal \( v_3 = t , \ v_4 = s \). Dann erhalten wir
\( v_2 = v_4 -2v_3 = s - 2t \)
Aus der ersten Gleichung erhalten wir dann
\( v_1 - v_2 + v_3 = 0 \Rightarrow v_1 = v_2 - v_3 = (s-2t) - t = s-3t \)
Somit ergibt sich die Lösung.

\( \begin{pmatrix} s-3t \\ s - 2t \\ t \\ s \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ s \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Für bebliebige \( s,t \in \mathbb{R} \) erhalten wir nun eine Lösung unseres Gleichungssystems.
Das bedeutet aber auch das unser Unterraum von den beiden obigen Vektoren aufgespannt wird.
Da diese zudem linear unabhängig sind, haben wir sofort unsere Basis gefunden.
Noch als Anmerkung: Die Basis ist nicht eindeutig. Wir hätten auch beispielsweise \( v_2 \) und \( v_3 \) frei wählen können und würden auf eine andere Lösung kommen.
Wenn du magst kannst du zur Übung eine andere Basis bestimmen und ich gucke gerne mal drüber.

Nun zur 3) der \( \mathbb{R}^4 \) hat die Dimension 4, also brauchen wir für ihn 4 Basisvektoren. Zwei haben wir bereits, also brauchen wir jetzt noch zwei Vektoren, die linear unabhängig zueinander und zu den bereits vorhanden Basisvektoren sind.
Hast du eine Idee wie du diese bestimmen kannst?
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate, 2 Wochen

Hmm, das hat aber nichts mehr mit meiner Matrix und seiner Treppennormalform zu tun. Das war dann also sinnfrei.

Was muss da dann für s im ersten Vektor stehen ? \( s\begin{pmatrx}1\\ 1\\ 0\\ s\end{pmatrix} \)Und müsste es nicht \( t\begin{pmatrix}-3\\ -2\\ 1\\ 0\end{pmatrix} \) sein ?

Aber so richtig weiter hilft mir das auch nicht. Wie löse ich sowas? Umbenennen und versuchen zu eliminieren? Und wie komme ich jetzt auf die fehlenden Vektoren, probieren bis der Tod mich erlöst?
  -   stehgold, kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche

Da habe ich wohl etwas zu schnell getippt. So ist es richtig.

\( s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Wie gesagt nun müssen wir zwei Vektoren finden die linear unabhängig sind. Diese beiden Vektoren die wir am Ende erhalten spannen einen Untervektorraum auf, der orthogonal zu unserem Untervektorraum ist.
Wir müssen also zwei Vektoren finden, die alle Vektoren erzeugen die orthogonal zu U sind.

Nun ist das Skalarprodukt genau dann Null, wenn zwei Vektoren orthogonal sind.
Also nehmen wir unsere Basis, und suchen alle Vektoren für die das Skalarprodukt mit unseren Basiselementen Null wird.

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{pmatrix} = 0 \\ \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{pmatrix} = 0 \)

Wir erhalten also wie in der b) zwei Gleichungen mit vier Unbekannten. Daraus erhalten wir wieder zwei Vektoren, die dann eine Basis unseres orthogonalen Vektorraums bilden.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche

Orthogonalen Untervektorraum aufspannen. Äh, was? Ich sehe da nur vertikale Zahlenkolonnen in Klammern. Ich weiß das ich 4 Vektoren brauche die linear kombiniert irgendwie \( \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \) bilden. 2 davon habe ich, wie finde ich die anderen beiden?

Und irgendwie hat die Forensoftware ein Problem beim editieren von Formeln. Das klappt (bei mir) nicht. Wenn ich das Versuche bekomme ich die "Marker" (backslash, Klammer auf, Klammer zu) nicht angezeigt. Wenn ich sie neu eingebe wird die Sache dann ganz wild. Also editieren klappt nicht (bei mir: Chrome 74).
  -   stehgold, kommentiert vor 5 Monate

Orthogonal bedeutet erstmal senkrecht.
Nochmal zum Verständnis was wir hier genau machen:
Ich versuches es mal am \( \mathbb{R}^3 \) zu erklären (du kannst den \( \mathbb{R}^3 \) mit dem Raum in dem wir Leben vergleichen. Wir haben eine Länge,Breite und Höhe).
Stell dir eine unendlich große Ebene in unserem Raum vor. Das ist im Prinzip der Untervektorraum U.
Nun wollen wir alle Vektoren finden, die nicht in dieser Ebene liegen. Also alle die unterhalb oder oberhalb von unserer Ebene liegen.
Dafür suchen wir uns jetzt einen Vektor, den wir auf unsere Ebene setzen können. Wenn wir diesen Vektor nun auf unsere Ebene verschieben und die Länge variieren können wir jeden Punkt oberhalb und unterhalb unserer Ebene erreichen.
Nun ist es am einfachsten einen orthogonalen (senkrecht stehenden) Vektor zu berechnen.
Das liegt daran, dass das Skalarprodukt die Eigenschaft hat, das es Null ergibt wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

So nun zu deiner Aufgabe. Wir haben eine Ebene im \( \mathbb{R}^4 \). Wir suchen nun hier alle Vektoren die senkrecht auf unserer Ebene stehen. Wir nehmen uns also das Skalarprodukt und suchen einen Vektor \( \vec{w} \in \mathbb{R}^4 \), der die bereits oben aufgeführte Gleichung erfüllt

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{pmatrix} = 0 \\ \Rightarrow w_1 + w_2 + w_4 = 0 \\ \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \end{pmatrix} = 0 \\ \Rightarrow -3w_1 -2w_2 +w_3 = 0 \)

Kennst du das Skalarprodukt?

Nun hast du also wieder zwei Gleichungen und vier Unbekannte. Dieses Gleichungssystem kannst du lösen, wie ich es in meinem Kommentar getan habe. Kommst du auf die Lösung?

Danke für das Feedback. An dem Problem wir bereits gearbeitet. Das Problem taucht nur bei der Kommentarfunktion auf. Zur Not switchen wir auf die Antwortfunktion :)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate

Warum Skalarprodukt? Skalarprodukt ist doch \( s\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}sv_1\\ sv_2\\ sv_3\\ sv_4\end{pmatrix} \)
Ich suche doch \( b_3,b_4 \) aus \( \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\in\right\rangle\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\ -2\\ 1\\ 0\end{pmatrix},b_3,b_4\left\langle \)

\( w_1+w_2+w_4=0 \) Da war dann was mit s und t, wie wähle ich die? Ok, sage ich einfach:
\( w_1=1+w_2=1+w_4=-2=0 \) dann passt das.
\(-3-2+5=0 \) Also \( w_3=5 \) dann \( b_3=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 5\\ 0\end{pmatrix},b_4=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -2\end{pmatrix} \)
Aber, nein, das haut nicht hin. Gibt es da irgendwo ein Video wie man eine Basis findet, wenn man schon Vektoren hat?
  -   stehgold, kommentiert vor 5 Monate


Und da ist es schon wieder passiert. Das geht aber wohl doch. Wenn ich die in eine Matrix schreibe, kann ich die auf I4I4 I_4 reduzieren. Das klappt aber auch wenn ich einfach e3unde4e3unde4e_3 und e_4 verwende...Oh, wie füge ich hier einen Screenshot von Octave ein ? Ich versuche einfach mal c&p der Ausgabe.>> A,rref(A)A = 1 1 0 1 -3 -2 1 0 0 0 5 0 0 0 0 -2ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1>> B,rref(B)B = 1 1 0 1 -3 -2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Also \( e_3 \) und \( e_4 \) fehlen mir zur Basis von \( \mathbb(R)^4 \) ?
  -   stehgold, kommentiert vor 5 Monate

Nochmal gefragt. Ist:
\( \mathcal{B}=\left\lbrace \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 3\\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right\rbrace \)
dann die Basis ?
  -   stehgold, kommentiert vor 5 Monate
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Ich kann irgendwie keinen weiteren Kommentar mehr schreiben deshalb schreibe ich hier weiter.

Tut mir Leid das die Antwort so spät kommt. 

Nein die Basis stimmt nicht. Die Multiplikation die du oben geschrieben hast ist die skalare Multiplikation. Das Skalarprodukt ist folgendermaßen definiert.

\( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i \)

Wie gesagt du musst genau das selbe machen wie beim ersten Gleichungssystem. Wir haben die beiden Gleichungen

\( w_1 + w_2 + w_4 = 0 \\ -3w_1 -2w_2 +w_3 =0 \\ \Rightarrow \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ -3 & -2 & 1 & 0 \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \)

Wenn wir die Matrix in Treppenstufenform bringen, sehen wir das diese nicht linear abhängig sind ( das sehen wir daran, das wir keine Nullzeile erhalten) und somit haben wir zwei Gleichungen und vier Unbekannte. 
Wir müssen also wieder zwei Variablen frei wählen und die anderen beiden ergeben sich dann in Abhängigkeit der frei gewählten. Also wählen wir beispielsweise \( w_1 = t \) und \( w_2 = s \)

\( \Rightarrow t + s + w_4 = 0 \\ \Rightarrow w_4 = -t-s \\ -3t-2s + w_3 =0 \\ \Rightarrow w_3 = 3t+2s \)

Und somit erhalten wir den Lösungsvektoren

\( t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Eine Basis wäre dann 

\( \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\} \)

Grüße Christian

geantwortet vor 5 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14933
 

Irgendwie drehen wir uns hier im Kreis. Die beiden haben wir ja schon lange. Die Frage ist welche beiden noch fehlen um eine Basis von \( \mathbb{R}^4 \) zu bilden. Und da glaube ich, das \( e_3,e_4 \) es tun. Schreibe ich die in eine Matrix, dann kann ich die auf die Einheitsmatrix \( I_4 \) reduzieren.   -   stehgold, kommentiert vor 5 Monate

Achso es geht nur noch ums ergänzen. Die gesuchte Basis sind die Vereinigung der beiden gefunden Basen.

Also

\( \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right\} \)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 5 Monate

Aha, Vereinigung. Was ist das denn ? Lassen wir das, da muss ich wohl erst ein paar Videos oder Texte dazu suchen.   -   stehgold, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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