Tangentialebene Kugel


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Hallo

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Meine Lösung ohne partielles Ableiten:

Wie man sehen kann habe ich die Aufgabe erstmal ohne partielles Ableiten gelöst, da ich dabei Schwierigkeiten habe, da die Funktion drei Variablen aufweist und nicht zwei.

Sofern ich bei der ersten Methode keine Fehler gemacht habe, sollte dies ja eigentlich korrekt sein oder?

Meine Frage zum parteillen Ableiten aber für die Kugelgleichung: Wenn ich im Internet nach Lösungsmöglichkeiten schaue, dann benutzen ja alle logischerweise das partielle Ableiten, um die Steigung am entsprechenden Punkt zu finden. Dabei sind die Funktionen aber jeweils immer definiert durch f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2.

Die Funktion hier hat ja aber drei Variablen x,y,z -> f(x,y,z) und da verstehe ich leider nicht ganz wie ich dann die Funktion aufstellen soll.

Meine Idee wäre einfach nach z umzuformen und dann einfach zu sagen f(x,y) = root(9-4x^2-y^2). Wäre das korrekt?

Vielen Dank für eure Hilfe

LG

Wizz

 

Edit:

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
w
wizzlah,
Student, Punkte: 196
 

Moin Wizz,

ich hab von der Thematik wenig Ahnung trotzdem ist mir ein kleiner Vorzeichenfehler aufgefallen. Die Tangentialebene muss korrekt lauten: x + 2x + z = 6. Du hast die Ebenengleichung schlichtweg falsch von dem ausmultiplizierten Skalar abgeschrieben.
Der Rest deines ersten Lösungsweges erscheint mir nach meinem Kenntnisstand durchaus als richtig.

Grüße
  -   1+2=3, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Hallo

vielen Dank ich habe es angepasst :-)
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,

bis auf den Vorzeichenfehler den 1+1=2 bereits angesprochen hat ist alles richtig. 

Den Hinweis musst du ja nicht zwangsläufig nutzen. Ich denke aber mit dem Hinweis ist gemeint, das du die Gleichung nach \( z \) umstellst und dann \( f(x,y)=z \) setzt. Da du hier eine Wurzel ziehen wirst aber den oberen Teil nehmen sollst, ist hier die positive Wurzel gemeint.

\( f(x,y) = \sqrt{9-4x^2-y^2} \)

Der untere Teil wäre

\( f(x,y) = - \sqrt{9-4x^2-y^2} \)

Noch zum Schnittpunkt der Ebenen. Du hast nichts falsch gemacht es geht nur schneller, wenn du deine Gleichung in Koordinatenform lässt. Für die xy-Ebene kannst du direkt schreiben \( z=0 \). Dadurch ergibt sich ein Gleichungssystem, das sehr schnell zu lösen ist

\( x+2y+z = 6 \\ z=0 \\ \Rightarrow x+2y = 6 \\ \Rightarrow y=  - \frac 1 2 x + 3 \)

Das wäre dann auch direkt deine Schnittgerade.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Super vielen Dank ich habe es verstanden. Dann lag ich mit meiner Vermutung ja gar nicht so weit daneben :-)   -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen


Danke für die Tipps !Noch eine Frage aber zur zweiten Methode. (ich habe meinen aktuellen Status der Methode II in meiner Frage hinzugefügt):Ich habe ja die Formel für die Tangentialebene aus der Vorlesung (sofern die hoffentlich stimmt).Wenn ich aber dx*f(p)(x-x0) ausrechnen möchte wie ist das genau gemeint?Ich habe ja ein Punkt mit drei Koordinaten.

Ist meine Lösung so korrekt ?
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Bei der Ableitung nach y hast du einen Vorzeichenfehler. \( (-y^2)' = -2y \)
Ansonsten stimmt die Lösung. Jetzt bin ich gerade nur etwas verwirrt, weil eine andere Lösung herauskommt. Ich habe nochmal auf eine andere Art die Tangentialebene berechnet und erhalte auch nochmal deine zweite Lösung (nach Vorzeichenfehlerkorrektur)
Ich überlege nochmal warum die erste Lösung doch nicht stimmt.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Super danke dir nochmals ich habe jetzt als Endlösung für die zweite Methode mit dem richtigen Vorzeichen die Gleichung für die Tangentialebene folgendermassen:
4x + 2y + z = 9.

Ich schau auch nochmals über die erste Lösung.
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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