Weglänge, Wegintegrale


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Hallo

Kann mir jemand helfen wie man hier genau vorgehen muss anhand eines guten Beispiels? In der Vorlesung wurde das leider nicht wirklich gut nachvollziehbar erklärt und auch im Skript finde ich nicht wirklich was, das mir helfen kann.

Ich habe mir bereits Videos für solche Aufgaben angeschaut. Die Integrale, welche da aber immer gelöst wurden sahen immer anders aus, sodass ich mir jetzt recht unsicher bin.

Bin dankbar für jeglichen Tipp.

LG

Wizz

 

Edit:

 

 

 

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
w
wizzlah,
Student, Punkte: 196
 
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1 Antwort
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Hallo,

die Formel

\( L(\gamma) = \int_a^b \Vert \dot{\gamma} (t) \Vert dt \)

beschreibt die Weglänge. Also brauchen wir die Ableitung unserer parametrisierten Kurve. 

\( \gamma (t) = \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3 \end{pmatrix}  \)

Damit ergibt sich die zeitliche Ableitung zu

\( \dot{\gamma} (t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2 \end{pmatrix} \)

Die Länge dieses Vektors ergibt sich zu

\( \Vert \dot{\gamma} (t) \Vert = \sqrt{(2t)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{4t^2 + 9t^4} \)

Wir erhalten also

\( L(\gamma) = \int_0^a t \cdot \sqrt{4 + 9t^2} dt \)

Dieses Integral gilt es nun zu lösen.

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14508
 

Vielen Dank jetzt ist mir die Vorgehensweise klar.
Könntest du meine Lösungen noch kontrollieren?
Bei der c bin ich mir nicht sicher, ob ich da noch was vereinfachen könnte, denn ansosnten wäre das zu berechnende Integral so wie es mir erscheint recht aufwendig zu berechnen. :-)
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

a) und b) sind korrekt. Bei der c) lässt du auf einmal die Quadrate vom Sinus und Kosinus weg. Hier kannst du den selben Trick wie bei der b) anwenden

\( \sqrt{ \frac {r^2 \sin^2 ( \frac t {a})} {a^2} + \frac {r^2 \cos^2 (\frac t a)} {a^2} + \frac 1 {a^2} } = \sqrt{\frac {1} {a^2} (r^2\sin^2(\frac t a) +r^2 \cos^2(\frac t a) +1) } = \sqrt{\frac {r^2 +1} {a^2}} \)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Achja mit \( a = \sqrt{r^2 +1} \) erhalten wir sogar
\( \sqrt{ \frac {r^2 +1} {a^2} } = \sqrt {\frac {r^2 +1} {r^2+1} } = \sqrt{1} = 1 \)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Ahh top vielen Dank ich habs jetzt. Aus etwas komplizierten wird was einfaches. :-)

Vielen Dank!!!!!
  -   wizzlah, kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Manchmal echt erstaunlich ;)
Sehr gerne :)
  -   christian strack, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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