Dgl 2.Ordnung


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Guten Abend alle zusammen.

in meiner Aufgabe müsste ich die allgemeine Lösung der Dgl y''-5y'+6y=18x^{2}   ermitteln

.. wie im Anhang zu sehen ist, habe ich es bis zur homogenen Lösung yh geschafft. Um auf die allgemeine Lösung y(x)=yh(x)+p(x) zu kommen, fehlt mir noch die partikuläre Lösung. Ich habe in der Papula Formelsammlung schon nachgeschaut, leider komme ich auf kein Ergebnis.

 

Wäre über eine Hilfestellung echt dankbar=).

 

gefragt vor 4 Monate, 3 Wochen
e
edikw,
Student, Punkte: 19
 
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1 Antwort
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Guten Morgen,

 

das sieht soweit schon gut aus. Für den partikulären Teil können wir \(Q_{n}(x)\) nehmen, da wir keinen Resonanzfall haben (das wäre für \(\lambda = 0 \) der Fall). De allgemeine Ansatz für ein Polynom ist \(y_p = ax^2 + bx + c\). Damit ist \(y' = 2ax + b\) und \(y'' = 2a\).

Das setze nun ein:

\((2a) - 5(2ax+b) + 6(ax^2+bx+c) = 18x^2 + 0x + 0\)

\(6a + (-10a+6b)x + (-5b + 2a + 6c) = 18x^2 + 0x + 0\)

Nun eine Koeffizientenvergleich. Da sieht man sofort, dass \(a = 3\) gilt und schnell kommt man dann auf \(b = 5\) und \(c = \frac{19}{6}\).

Folglich haben wir:

\(y = y_h + 3x^2 + 5x + \frac{19}{6}\)

geantwortet vor 4 Monate, 3 Wochen
o
orthando, verified
Student, Punkte: 2015
 

Wow, danke für die schnelle Antwort.
Wie erkenne ich daran, dass es ein Resonanzfall ist? Ich hatte aus der Papula-Formelsammlung für das g(x)=18*x^2 den Ansatz Q(x)*x^2 genommen, da es eine quadratische Funktion ist. Kam damit leider nicht weiter.
  -   edikw, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Ein Resonanzfall liegt vor, wenn die Störfunktion erkennbare Zahl eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Hier liegt das nicht vor und du brauchst den quadratischen Ansatz von Papula nicht weiter verfolgen. Das ist unabhängig davon, dass unsere Störfunktion qudratisch ist.
Den beschriebenen Ansatz solltest du auch im Papula finden.
  -   orthando, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Dankeschön:)   -   edikw, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Gerne ;)   -   orthando, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Nur eine kurze Frage noch. Wie kommst du auf die 2. Zeile ab dem 6a+(-10a .....?
Alles andere ist verständlich:)
  -   edikw, kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen

Da habe ich nach x², x und konstanten sortiert. Links erst alles ausmultiplizieren udn dann nach den entsprechenden x'en sortieren. Wenn du dann 6ax², statt 6a schreibst, ist es sogar richtig :D.   -   orthando, verified kommentiert vor 4 Monate, 3 Wochen
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