Differentialgleichung, Trennung der Variablen

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Du hast versucht die Variablen zu separieren? Achte darauf, dass hier eigentlich ein x dabeisteht und du nach x und y sortieren musst. Sollte also besser so aussehen:

 

\(yy' = 1-y^2\)

\(\frac{y}{1-y^2} y' = 1\)

Nun kannst du das \(y'\) umschreiben und integrieren. Beachte, dass links im Zähler (mehr oder weniger) die Ableitung des Nenners steht und du mit dem Logarithmus arbeiten kannst:

\(-\frac12\ln(1-y^2) = x + c\)

Das forme jetzt noch nach y um:

\(\ln(1-y^2) = -2x + c'\)

\(1-y^2 = e^{-2x+c'}\)

\(y^2 = 1-e^{-2x+c'}\)

Nun noch die Wurzel ziehen und fertig:

\(y_{1,2} = \pm\sqrt{1-e^{-2x+c'}}\)

bzw schöner mit den Potenzgesetzen:

\(y_{1,2} = \pm\sqrt{1-d\cdot e^{-2x}}\)

 

geantwortet vor 5 Monate, 1 Woche
o
orthando, verified
Student, Punkte: 2055
 

Vielen Dank!   -   maikgleich04, kommentiert vor 5 Monate, 1 Woche
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